Mostre que se f: A B é um isomorfismo de anéis, então a função inversa, f^-1: B A também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se f é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que f^-1 existe. Resta provar que f^-1 satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que se é um isomorfismo de anéis, então a função inversa também é um isomorfismo de anéis.
O que é um isomorfismo de anéis? É basicamente uma função que:
  1. É bijeção (ou seja, é injetora e sobrejetora).
  2. Preserva as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
  • O que significa uma função ser bijetora.
  • O que é preciso para uma função ser um isomorfismo de anéis.
  • Como a função inversa se comporta em relação às operações dos anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se f^-1(f(a)) = a para todo a in A é uma bijeção, então existe uma função inversa f(f^-1(b)) = b para todo b in B tal que:
e
Isso significa que cada elemento de está emparelhado com um único elemento de , e vice-versa. Essa propriedade é essencial para que a inversa exista.

Passo 3

Agora, para mostrar que também é um isomorfismo de anéis, precisamos provar que ela preserva a adição e a multiplicação. Ou seja, precisamos mostrar que para quaisquer :
Essas são as propriedades e mencionadas na dica, que fazem parte da definição de homomorfismo de anéis.

Passo 4

Vamos começar provando a preservação da adição. Se f(a) = c , então como f(b) = d é bijetora, existem f^-1(c + d) = f^-1(f(a) + f(b)) tais que:
f(a + b) = f(a) + f(b)
f^-1(f(a) + f(b)) = f^-1(f(a + b)) = a + b
Então,
a + b = f^-1(c) + f^-1(d)
Como f^-1(c + d) = f^-1(c) + f^-1(d) é um homomorfismo de anéis, sabemos que:
Portanto:
Mas e , então:
Logo:
Isso prova que preserva a adição.

Passo 5

Agora, vamos provar que f(a) = c preserva a multiplicação. Novamente, para f(b) = d , temos f^-1(c cdot d) = f^-1(f(a) cdot f(b)) tal que:
f(a cdot b) = f(a) cdot f(b)
f^-1(f(a) cdot f(b)) = f^-1(f(a cdot b)) = a cdot b
Então,
a cdot b = f^-1(c) cdot f^-1(d)
Como f^-1(c cdot d) = f^-1(c) cdot f^-1(d) é um homomorfismo de anéis:
Portanto:
E como antes, e , então:
Logo:
Isso mostra que também preserva a multiplicação.

Resposta

Concluímos que a função inversa preserva tanto a adição quanto a multiplicação, satisfazendo assim as condições necessárias para ser um isomorfismo de anéis. Portanto, se é um isomorfismo de anéis, então também é um isomorfismo de anéis.

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