Mostre que se
é um isomorfismo de anéis, então a função inversa,
também é um isomorfismo de anéis.
Dica: Se
é uma bijeção, então, (teorema sobre funções invertíveis) é garantido que
existe. Resta provar que
satisfaz (HA1) e (HA2) da Definição 1.
Dica: Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que se
é um isomorfismo de anéis, então a função inversa
também é um isomorfismo de anéis.
O que é um isomorfismo de anéis? É basicamente uma função que:
- É bijeção (ou seja, é injetora e sobrejetora).
- Preserva as operações de adição e multiplicação dos anéis.
Para resolver isso, vamos precisar saber:
- O que significa uma função ser bijetora.
- O que é preciso para uma função ser um isomorfismo de anéis.
- Como a função inversa se comporta em relação às operações dos anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
é uma bijeção, então existe uma função inversa
tal que:
e
Isso significa que cada elemento de
está emparelhado com um único elemento de
, e vice-versa. Essa propriedade é essencial para que a inversa exista.
Passo 3
Agora, para mostrar que
também é um isomorfismo de anéis, precisamos provar que ela preserva a adição e a multiplicação. Ou seja, precisamos mostrar que para quaisquer
:
Essas são as propriedades
e
mencionadas na dica, que fazem parte da definição de homomorfismo de anéis.
Passo 4
Vamos começar provando a preservação da adição. Se
, então como
é bijetora, existem
tais que:
Então,
Como
é um homomorfismo de anéis, sabemos que:
Portanto:
Mas
e
, então:
Logo:
Isso prova que
preserva a adição.
Passo 5
Agora, vamos provar que
preserva a multiplicação. Novamente, para
, temos
tal que:
Então,
Como
é um homomorfismo de anéis:
Portanto:
E como antes,
e
, então:
Logo:
Isso mostra que
também preserva a multiplicação.
Resposta
Concluímos que a função inversa
preserva tanto a adição quanto a multiplicação, satisfazendo assim as condições necessárias para ser um isomorfismo de anéis. Portanto, se
é um isomorfismo de anéis, então
também é um isomorfismo de anéis.