(a) - (1,5) : Considere a matriz A=(lllx & 2 & 1 2 & - & 2 1 & 2 & 1). Encontre os valores de x tais que A seja inversível. Use a matriz adjunta de A para encontrar A^-1 ; isto é, calcule A^-1=1det(A) A d j(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir para quais valores de a matriz é inversível e depois encontrar a matriz inversa usando a matriz adjunta. A matéria que estamos lidando aqui é álgebra de matrizes, especificamente determinantes e matrizes inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante de e a matriz adjunta de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = x & 2 & 1 2 & -2 & 2 1 & 2 & 1 direitinho. Parece que tem um elemento faltando, mas vou supor que a matriz completa é:
Agora, para saber se é inversível, precisamos calcular o determinante de . Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = x cdot (-2 cdot 1 - 2 cdot 2) - 2 cdot (2 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1 cdot (2 cdot 2 - (-2) cdot 1) . Para uma matriz 3x3, o determinante é dado por:
det(A) = x cdot (-2 - 4) - 2 cdot (2 - 2) + 1 cdot (4 + 2)
Vamos resolver cada parte:
det(A) = x cdot (-6) - 2 cdot 0 + 1 cdot 6
det(A) = -6x + 0 + 6
det(A) = -6x + 6
det(A) = -6(x - 1)

Passo 4

Agora, para que a matriz -6(x - 1) neq 0 seja inversível, o determinante não pode ser zero:
x - 1 neq 0
x neq 1
Então, qualquer valor de diferente de 1 fará com que seja inversível.

Passo 5

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é inversível para , vamos encontrar a matriz inversa usando a matriz adjunta. A fórmula é:
Primeiro, precisamos encontrar a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 6

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de C11 = (-1)^1+1 cdot det -2 & 2 2 & 1 = 1 cdot ((-2)(1) - (2)(2)) = 1 cdot (-2 - 4) = -6 :
  1. Cofator C12 = (-1)^1+2 cdot det 2 & 2 1 & 1 = -1 cdot ((2)(1) - (2)(1)) = -1 cdot (2 - 2) = 0 :
C13 = (-1)^1+3 cdot det 2 & -2 1 & 2 = 1 cdot ((2)(2) - (-2)(1)) = 1 cdot (4 + 2) = 6
  1. Cofator C21 = (-1)^2+1 cdot det 2 & 1 2 & 1 = -1 cdot ((2)(1) - (1)(2)) = -1 cdot (2 - 2) = 0 :
C22 = (-1)^2+2 cdot det x & 1 1 & 1 = 1 cdot (x cdot 1 - 1 cdot 1) = x - 1
  1. Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot det x & 2 1 & 2 = -1 cdot (x cdot 2 - 2 cdot 1) = -1 cdot (2x - 2) = -2x + 2 :
C31 = (-1)^3+1 cdot det 2 & 1 -2 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot (-2)) = 1 cdot (4 + 2) = 6
  1. Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot det x & 1 2 & 2 = -1 cdot (x cdot 2 - 1 cdot 2) = -1 cdot (2x - 2) = -2x + 2 :
C33 = (-1)^3+3 cdot det x & 2 2 & -2 = 1 cdot (x cdot (-2) - 2 cdot 2) = 1 cdot (-2x - 4) = -2x - 4
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :

Passo 7

Agora, organizamos os cofatores em uma matriz e tiramos a transposta para obter a matriz adjunta:
adj(A) = -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4 ^T
adj(A) = -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4

Passo 8

Finalmente, substituímos na fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 1-6x + 6 cdot -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4
Podemos simplificar:
A^-1 = 1-6(x - 1) cdot -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4

Resposta

A matriz A^-1 = 1-6x + 6 cdot -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4 é inversível para todo valor de A^-1 = 1-6(x - 1) cdot -6 & 0 & 6 0 & x - 1 & -2x + 2 6 & -2x + 2 & -2x - 4 diferente de 1. A matriz inversa é dada por:
ou simplificando:

Exercícios relacionados