Verifique se as funções abaixo são transformações lineares:
definida por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Vamos verificar a propriedade da adição. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Como os dois resultados são iguais, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Simplificando:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Sim, a função
é uma transformação linear, pois satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar.