Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] .
Calcule A+B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para calcular A+B^{t}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz A tem dimensão 3\times2 (3 linhas e 2 colunas).
  • A matriz B tem dimensão 2\times3 (2 linhas e 3 colunas).
  • A operação a realizar é a soma de A com a transposta de B, isto é A+B^{t}.]

Passo 2

Definição e cálculo de B^{t}.
Lembrete: a transposta de uma matriz M, denotada M^{t}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Se M=(m_{ij}), então M^{t}=(m_{ji}).
Aplicando isso a B:
B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}
As colunas de B são \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}. Ao transpor, essas colunas viram as linhas de B^{t}. Portanto
B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
que tem dimensão 3\times2.]

Passo 3

Verificação de compatibilidade e regra de adição.
Regra: duas matrizes podem ser somadas somente se têm a mesma dimensão; a soma é feita elemento a elemento, isto é, (A+ C)_{ij}=A_{ij}+C_{ij}.
Aqui A e B^{t} têm ambas dimensão 3\times2, então a soma é válida. Vamos somar elemento a elemento:
Escrevendo as matrizes lado a lado para visualizar:
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada entrada (A+B^{t})_{ij}=A_{ij}+(B^{t})_{ij}:
  • Linha 1, coluna 1: (A+B^{t})_{11}=2+1=3.
  • Linha 1, coluna 2: (A+B^{t})_{12}=1+0=1.
  • Linha 2, coluna 1: (A+B^{t})_{21}=1+0=1.
  • Linha 2, coluna 2: (A+B^{t})_{22}=0+1=1.
  • Linha 3, coluna 1: (A+B^{t})_{31}=0+1=1.
  • Linha 3, coluna 2: (A+B^{t})_{32}=1+1=2.]

Passo 4

Montando a matriz soma com os resultados obtidos:
A+B^{t}=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}]

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