Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] .
Calcule (B A)^{2}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pede para calcular \,(BA)^{2}\,. Lista do que temos e do que é pedido:
  • Matrizes fornecidas: \,A\in\mathbb{R}^{3\times2} e \,B\in\mathbb{R}^{2\times3} (peguei essas dimensões da definição das matrizes dadas).
  • O que deve ser calculado: \,(BA)^{2}=BA\cdot BA, supondo que o produto BA esteja definido.]

Passo 2

Verificar se o produto \,BA\, está definido e qual será a dimensão de \,BA.
  • Em multiplicação de matrizes, o produto B A está definido se o número de colunas de B for igual ao número de linhas de A.
  • Aqui B tem 3 colunas e A tem 3 linhas, logo o produto está definido.
  • A dimensão resultante será \,2\times2 (porque B é 2\times3 e A é 3\times2).

Passo 3

Lembrando a definição do produto: para matrizes B\in\mathbb{R}^{2\times3} e A\in\mathbb{R}^{3\times2}, o elemento (BA)_{ij} é
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} B_{ik}\,A_{kj}.
Vamos calcular cada entrada de BA por produto escalar das linhas de B com as colunas de A.
Cálculo de (BA)_{11} (primeira linha, primeira coluna):
(BA)_{11}=B_{11}A_{11}+B_{12}A_{21}+B_{13}A_{31}=1\cdot2+0\cdot1+1\cdot0=2.
Cálculo de (BA)_{12} (primeira linha, segunda coluna):
(BA)_{12}=B_{11}A_{12}+B_{12}A_{22}+B_{13}A_{32}=1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=1+0+1=2.
Cálculo de (BA)_{21} (segunda linha, primeira coluna):
(BA)_{21}=B_{21}A_{11}+B_{22}A_{21}+B_{23}A_{31}=0\cdot2+1\cdot1+1\cdot0=1.
Cálculo de (BA)_{22} (segunda linha, segunda coluna):
(BA)_{22}=B_{21}A_{12}+B_{22}A_{22}+B_{23}A_{32}=0\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=1.

Passo 4

Organizando os resultados do passo anterior, obtemos
BA=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora queremos (BA)^{2}=BA\cdot BA. Para uma matriz M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}, o quadrado M^{2} tem entradas
(M^{2})_{11}=m_{11}m_{11}+m_{12}m_{21},\qquad (M^{2})_{12}=m_{11}m_{12}+m_{12}m_{22},
(M^{2})_{21}=m_{21}m_{11}+m_{22}m_{21},\qquad (M^{2})_{22}=m_{21}m_{12}+m_{22}m_{22}.
Aqui M=BA=\begin{pmatrix}2&2\\[4pt]1&1\end{pmatrix}. Vamos calcular cada entrada usando essas fórmulas.
Cálculo de (BA)^{2}_{11}:
(BA)^{2}_{11}=2\cdot2+2\cdot1=4+2=6.
Cálculo de (BA)^{2}_{12}:
(BA)^{2}_{12}=2\cdot2+2\cdot1=4+2=6.
Cálculo de (BA)^{2}_{21}:
(BA)^{2}_{21}=1\cdot2+1\cdot1=2+1=3.
Cálculo de (BA)^{2}_{22}:
(BA)^{2}_{22}=1\cdot2+1\cdot1=2+1=3.]

Passo 6

Colocando todas as entradas juntas, o quadrado da matriz BA é
(BA)^{2}=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

(BA)^{2}=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix}]

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