No próximo passo eu começo a resolver item por item. Antes de calcular, vou recordar regras e condições de existência para cada operação (dimensões, propriedades) de forma didática.
Passo 2
Regra rápida sobre dimensão e operações (muito importante para saber se uma operação é possível):
Soma/subtração de matrizes só existe se as matrizes têm a mesma dimensão (mesmo número de linhas e colunas). Ex.: para X+Y precisamos que X e Y sejam ambas m\times n.
Multiplicação por escalar é sempre possível: kX multiplica cada entrada de X por k.
Produto de matrizes XY só existe se o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y. Se X é m\times p e Y é p\times n, então XY é m\times n.
Transposta: se X é m\times n, então X^{\mathrm{t}} é n\times m.
Propriedade útil de transposta do produto: (XY)^{\mathrm{t}} = Y^{\mathrm{t}} X^{\mathrm{t}}.
Vou usar essas regras sempre que for necessário dizer se uma operação existe e para calcular.
Passo 3
Cálculo de \,D+E.
As duas matrizes são 3\times3, então a soma existe e é elemento a elemento:
Cálculo de \,2B-C.
Dimensões: B é 2\times2 e C é 2\times3. Para fazer 2B - C precisamos que ambas as matrizes tenham a mesma dimensão; aqui as dimensões são diferentes (2\times2 vs 2\times3). Portanto a operação não é possível.
Passo 5
Cálculo de \,5A (multiplicação por escalar).
Multiplica-se cada entrada de A por 5:
Cálculo de \,D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}} e de (D-E)^{\mathrm{t}}.
Como D e E são 3\times3, suas transpostas também são 3\times3. A subtração existe e pode ser feita elemento a elemento.
Primeiro D^{\mathrm{t}} e E^{\mathrm{t}}:
Pela propriedade (D-E)^{\mathrm{t}}=D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}}, então (D-E)^{\mathrm{t}} dá exatamente a mesma matriz acima.
Passo 10
Cálculo de \,B^{\mathrm{t}}+5C^{\mathrm{t}}.
Dimensões: B^{\mathrm{t}} é 2\times2 (pois B é 2\times2), enquanto C^{\mathrm{t}} é 3\times2 (pois C é 2\times3). Como as dimensões são diferentes, não é possível somar B^{\mathrm{t}} e 5C^{\mathrm{t}}. Portanto a operação não existe.
Passo 11
Cálculo de \,2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}} e de \left(2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}}.
Ambas as transpostas são 3\times3, então a combinação linear existe. Primeiro calcule 2E^{\mathrm{t}} e 3D^{\mathrm{t}}:
Cálculo de A(BC).
Primeiro verificar dimensões: B é 2\times2, C é 2\times3, portanto BC existe e é 2\times3. Depois A é 3\times2, então A(BC) é (3\times2)\cdot(2\times3)=(3\times3), ou seja, existe.
Cálculo de BA.
Dimensões: B é 2\times2 e A é 3\times2. Para multiplicar BA precisa-se que o número de colunas de B (que é 2) seja igual ao número de linhas de A (que é 3). Isso não acontece (2\neq 3), portanto BA não é possível.
Passo 14
Cálculo de CC^{\mathrm{t}}.
Dimensões: C é 2\times3, então C^{\mathrm{t}} é 3\times2 e o produto CC^{\mathrm{t}} é 2\times2. Faça o produto (produto de linha por coluna):
Cálculo de D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-(ED)^{\mathrm{t}}.
Use a propriedade da transposta do produto: (ED)^{\mathrm{t}}=D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}. Portanto
Cálculo de 4(BC)+2B.
Primeiro observe dimensões: BC (já calculado no Passo 12) é 2\times3, então 4(BC) é 2\times3. Porém 2B é 2\times2. Não se pode somar uma matriz 2\times3 com uma 2\times2. Portanto a operação 4(BC)+2B não é possível por incompatibilidade de dimensões.
Passo 18
Cálculo de B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr).
Verifique dimensões: CC^{\mathrm{t}} é 2\times2 (Passo 14). A^{\mathrm{t}}A é também 2\times2 (porque A^{\mathrm{t}} é 2\times3 e A é 3\times2). Então a diferença é 2\times2. B^{\mathrm{t}} é 2\times2, então o produto B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr) existe e é 2\times2.
Já temos CC^{\mathrm{t}}=\left[\begin{smallmatrix}21&17\\\ 17&35\end{smallmatrix}\right].
Calcule A^{\mathrm{t}}A. Lembre que A^{\mathrm{t}}=\left[\begin{smallmatrix}3&-1&1\\\ 0&2&1\end{smallmatrix}\right], então