Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] .
Calcule os seguintes, quando possível:
\begin{gathered} D+E, 2 B-C, 5 A,-7 C,-3(D+2 E), 2 A^{\mathrm{t}}+C, D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}},(D-E)^{\mathrm{t}}, B^{\mathrm{t}}+5 C^{\mathrm{t}}, 2 E^{\mathrm{t}}-3 D^{\mathrm{t}} \\\ \left(2 E^{\mathrm{t}}-3 D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}}, A(B C), B A, C C^{\mathrm{t}},(D A)^{\mathrm{t}}, D^{\mathrm{t}} E^{\mathrm{t}}-(E D)^{\mathrm{t}}, 4(B C)+2 B, B^{\mathrm{t}}\left(C C^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}} A\right) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes (peguei todas as entradas do enunciado):
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right],\quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right],
D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right],\quad E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right].
O que é pedido: calcular, quando possível, os seguintes objetos (vou enumerá-los na mesma ordem do enunciado):
  1. \,D+E
  2. \,2B - C
  3. \,5A
  4. \,-7C
  5. \,-3(D+2E)
  6. \,2A^{\mathrm{t}} + C
  7. \,D^{\mathrm{t}} - E^{\mathrm{t}}
  8. (D-E)^{\mathrm{t}}
  9. \,B^{\mathrm{t}} + 5C^{\mathrm{t}}
  10. \,2E^{\mathrm{t}} - 3D^{\mathrm{t}}
  11. \left(2E^{\mathrm{t}} - 3D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}}
  12. \,A(BC)
  13. \,BA
  14. \,C C^{\mathrm{t}}
  15. (DA)^{\mathrm{t}}
  16. D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}} - (ED)^{\mathrm{t}}
  17. 4(BC) + 2B
  18. B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}} - A^{\mathrm{t}}A\bigr).
No próximo passo eu começo a resolver item por item. Antes de calcular, vou recordar regras e condições de existência para cada operação (dimensões, propriedades) de forma didática.

Passo 2

Regra rápida sobre dimensão e operações (muito importante para saber se uma operação é possível):
  • Soma/subtração de matrizes só existe se as matrizes têm a mesma dimensão (mesmo número de linhas e colunas). Ex.: para X+Y precisamos que X e Y sejam ambas m\times n.
  • Multiplicação por escalar é sempre possível: kX multiplica cada entrada de X por k.
  • Produto de matrizes XY só existe se o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y. Se X é m\times p e Y é p\times n, então XY é m\times n.
  • Transposta: se X é m\times n, então X^{\mathrm{t}} é n\times m.
  • Propriedade útil de transposta do produto: (XY)^{\mathrm{t}} = Y^{\mathrm{t}} X^{\mathrm{t}}.
    Vou usar essas regras sempre que for necessário dizer se uma operação existe e para calcular.

Passo 3

Cálculo de \,D+E.
As duas matrizes são 3\times3, então a soma existe e é elemento a elemento:
D+E=\left[\begin{array}{ccc} 1+6 & 5+1 & 2+3 \\\\ -1+(-1) & 0+1 & 1+2 \\\\ 3+4 & 2+1 & 4+3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 7 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 3 \\\\ 7 & 3 & 7 \end{array}\right].

Passo 4

Cálculo de \,2B-C.
Dimensões: B é 2\times2 e C é 2\times3. Para fazer 2B - C precisamos que ambas as matrizes tenham a mesma dimensão; aqui as dimensões são diferentes ( 2\times2 vs 2\times3). Portanto a operação não é possível.

Passo 5

Cálculo de \,5A (multiplicação por escalar).
Multiplica-se cada entrada de A por 5:
5A=\left[\begin{array}{cc} 5\cdot 3 & 5\cdot 0 \\\\ 5\cdot(-1) & 5\cdot 2 \\\\ 5\cdot 1 & 5\cdot 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 15 & 0 \\\\ -5 & 10 \\\\ 5 & 5 \end{array}\right].

Passo 6

Cálculo de \,-7C.
Multiplica-se cada entrada de C por -7:
-7C=\left[\begin{array}{ccc} -7\cdot 1 & -7\cdot 4 & -7\cdot 2 \\\\ -7\cdot 3 & -7\cdot 1 & -7\cdot 5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} -7 & -28 & -14 \\\\ -21 & -7 & -35 \end{array}\right].

Passo 7

Cálculo de \,-3(D+2E).
Primeiro 2E (multiplicar E por 2):
2E=\left[\begin{array}{ccc} 12 & 2 & 6 \\\\ -2 & 2 & 4 \\\\ 8 & 2 & 6 \end{array}\right].
Agora D+2E:
D+2E=\left[\begin{array}{ccc} 1+12 & 5+2 & 2+6 \\\\ -1+(-2) & 0+2 & 1+4 \\\\ 3+8 & 2+2 & 4+6 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 13 & 7 & 8 \\\\ -3 & 2 & 5 \\\\ 11 & 4 & 10 \end{array}\right].
Por fim multiplicar por -3:
-3(D+2E)=\left[\begin{array}{ccc} -39 & -21 & -24 \\\\ 9 & -6 & -15 \\\\ -33 & -12 & -30 \end{array}\right].

Passo 8

Cálculo de \,2A^{\mathrm{t}}+C.
Primeiro a transposta A^{\mathrm{t}}. Como A é 3\times2, A^{\mathrm{t}} é 2\times3:
A^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right].
Então 2A^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2\\\\ 0 & 4 & 2\end{array}\right].
Agora somar com C (que é 2\times3):
2A^{\mathrm{t}}+C=\left[\begin{array}{ccc} 6+1 & -2+4 & 2+2 \\\\ 0+3 & 4+1 & 2+5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 7 & 2 & 4 \\\\ 3 & 5 & 7 \end{array}\right].

Passo 9

Cálculo de \,D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}} e de (D-E)^{\mathrm{t}}.
Como D e E são 3\times3, suas transpostas também são 3\times3. A subtração existe e pode ser feita elemento a elemento.
Primeiro D^{\mathrm{t}} e E^{\mathrm{t}}:
D^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\\\ 5 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 4 \end{array}\right],\qquad E^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 6 & -1 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 3 & 2 & 3 \end{array}\right].
Subtraindo:
D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 1-6 & -1-(-1) & 3-4 \\\\ 5-1 & 0-1 & 2-1 \\\\ 2-3 & 1-2 & 4-3 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} -5 & 0 & -1 \\\\ 4 & -1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Pela propriedade (D-E)^{\mathrm{t}}=D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}}, então (D-E)^{\mathrm{t}} dá exatamente a mesma matriz acima.

Passo 10

Cálculo de \,B^{\mathrm{t}}+5C^{\mathrm{t}}.
Dimensões: B^{\mathrm{t}} é 2\times2 (pois B é 2\times2), enquanto C^{\mathrm{t}} é 3\times2 (pois C é 2\times3). Como as dimensões são diferentes, não é possível somar B^{\mathrm{t}} e 5C^{\mathrm{t}}. Portanto a operação não existe.

Passo 11

Cálculo de \,2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}} e de \left(2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}}.
Ambas as transpostas são 3\times3, então a combinação linear existe. Primeiro calcule 2E^{\mathrm{t}} e 3D^{\mathrm{t}}:
2E^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 12 & -2 & 8 \\\\ 2 & 2 & 2 \\\\ 6 & 4 & 6 \end{array}\right],\qquad 3D^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -3 & 9 \\\\ 15 & 0 & 6 \\\\ 6 & 3 & 12 \end{array}\right].
Subtraindo:
2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 12-3 & -2-(-3) & 8-9 \\\\ 2-15 & 2-0 & 2-6 \\\\ 6-6 & 4-3 & 6-12 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 9 & 1 & -1 \\\\ -13 & 2 & -4 \\\\ 0 & 1 & -6 \end{array}\right].
Agora a transposta desse resultado:
\left(2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}} =\left[\begin{array}{ccc} 9 & -13 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -4 & -6 \end{array}\right].

Passo 12

Cálculo de A(BC).
Primeiro verificar dimensões: B é 2\times2, C é 2\times3, portanto BC existe e é 2\times3. Depois A é 3\times2, então A(BC) é (3\times2)\cdot(2\times3)=(3\times3), ou seja, existe.
Calcule BC:
BC=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 4\cdot1+(-1)\cdot3 & 4\cdot4+(-1)\cdot1 & 4\cdot2+(-1)\cdot5 \\\\ 0\cdot1+2\cdot3 & 0\cdot4+2\cdot1 & 0\cdot2+2\cdot5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 1 & 15 & 3 \\\\ 6 & 2 & 10 \end{array}\right].
Agora A(BC) com A=\left[\begin{smallmatrix}3&0\\\ -1&2\\\ 1&1\end{smallmatrix}\right]:
A(BC)=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc} 1 & 15 & 3 \\\\ 6 & 2 & 10 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 3\cdot1+0\cdot6 & 3\cdot15+0\cdot2 & 3\cdot3+0\cdot10 \\\\ -1\cdot1+2\cdot6 & -1\cdot15+2\cdot2 & -1\cdot3+2\cdot10 \\\\ 1\cdot1+1\cdot6 & 1\cdot15+1\cdot2 & 1\cdot3+1\cdot10 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc} 3 & 45 & 9 \\\\ 11 & -11 & 17 \\\\ 7 & 17 & 13 \end{array}\right].

Passo 13

Cálculo de BA.
Dimensões: B é 2\times2 e A é 3\times2. Para multiplicar BA precisa-se que o número de colunas de B (que é 2) seja igual ao número de linhas de A (que é 3). Isso não acontece ( 2\neq 3), portanto BA não é possível.

Passo 14

Cálculo de CC^{\mathrm{t}}.
Dimensões: C é 2\times3, então C^{\mathrm{t}} é 3\times2 e o produto CC^{\mathrm{t}} é 2\times2. Faça o produto (produto de linha por coluna):
CC^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\\\ 4 & 1 \\\\ 2 & 5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 1^2+4^2+2^2 & 1\cdot3+4\cdot1+2\cdot5 \\\\ 3\cdot1+1\cdot4+5\cdot2 & 3^2+1^2+5^2 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 21 & 17 \\\\ 17 & 35 \end{array}\right].

Passo 15

Cálculo de (DA)^{\mathrm{t}}.
Primeiro calcule DA. Dimensões: D é 3\times3 e A é 3\times2, então DA é 3\times2. Calcule:
DA=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 1\cdot3+5\cdot(-1)+2\cdot1 & 1\cdot0+5\cdot2+2\cdot1 \\\\ -1\cdot3+0\cdot(-1)+1\cdot1 & -1\cdot0+0\cdot2+1\cdot1 \\\\ 3\cdot3+2\cdot(-1)+4\cdot1 & 3\cdot0+2\cdot2+4\cdot1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 0 & 12 \\\\ -2 & 1 \\\\ 11 & 8 \end{array}\right].
Agora a transposta:
(DA)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 11 \\\\ 12 & 1 & 8 \end{array}\right].

Passo 16

Cálculo de D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-(ED)^{\mathrm{t}}.
Use a propriedade da transposta do produto: (ED)^{\mathrm{t}}=D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}. Portanto
D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-(ED)^{\mathrm{t}}=D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}= \text{matriz nula}.
Como D e E são 3\times3, o resultado é a matriz nula 3\times3:
D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-(ED)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 17

Cálculo de 4(BC)+2B.
Primeiro observe dimensões: BC (já calculado no Passo 12) é 2\times3, então 4(BC) é 2\times3. Porém 2B é 2\times2. Não se pode somar uma matriz 2\times3 com uma 2\times2. Portanto a operação 4(BC)+2B não é possível por incompatibilidade de dimensões.

Passo 18

Cálculo de B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr).
Verifique dimensões: CC^{\mathrm{t}} é 2\times2 (Passo 14). A^{\mathrm{t}}A é também 2\times2 (porque A^{\mathrm{t}} é 2\times3 e A é 3\times2). Então a diferença é 2\times2. B^{\mathrm{t}} é 2\times2, então o produto B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr) existe e é 2\times2.
Já temos CC^{\mathrm{t}}=\left[\begin{smallmatrix}21&17\\\ 17&35\end{smallmatrix}\right].
Calcule A^{\mathrm{t}}A. Lembre que A^{\mathrm{t}}=\left[\begin{smallmatrix}3&-1&1\\\ 0&2&1\end{smallmatrix}\right], então
A^{\mathrm{t}}A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 3\cdot3+(-1)\cdot(-1)+1\cdot1 & 3\cdot0+(-1)\cdot2+1\cdot1 \\\\ 0\cdot3+2\cdot(-1)+1\cdot1 & 0\cdot0+2\cdot2+1\cdot1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 11 & -1 \\\\ -1 & 5 \end{array}\right].
Agora a diferença:
CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A =\left[\begin{array}{cc} 21-11 & 17-(-1) \\\\ 17-(-1) & 35-5 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 10 & 18 \\\\ 18 & 30 \end{array}\right].
Finalmente B^{\mathrm{t}}=\left[\begin{smallmatrix}4&0\\\ -1&2\end{smallmatrix}\right]. Multiplicando:
B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr) =\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 10 & 18 \\\\ 18 & 30 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 4\cdot10+0\cdot18 & 4\cdot18+0\cdot30 \\\\ -1\cdot10+2\cdot18 & -1\cdot18+2\cdot30 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc} 40 & 72 \\\\ 26 & 42 \end{array}\right].

Resposta

\displaystyle D+E=\left[\begin{array}{ccc}7 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 3 \\\\ 7 & 3 & 7\end{array}\right]
Não é possível calcular 2B-C (dimensões incompatíveis).
\displaystyle 5A=\left[\begin{array}{cc}15 & 0 \\\\ -5 & 10 \\\\ 5 & 5\end{array}\right]
\displaystyle -7C=\left[\begin{array}{ccc}-7 & -28 & -14 \\\\ -21 & -7 & -35\end{array}\right]
\displaystyle -3(D+2E)=\left[\begin{array}{ccc}-39 & -21 & -24 \\\\ 9 & -6 & -15 \\\\ -33 & -12 & -30\end{array}\right]
\displaystyle 2A^{\mathrm{t}}+C=\left[\begin{array}{ccc}7 & 2 & 4 \\\\ 3 & 5 & 7\end{array}\right]
\displaystyle D^{\mathrm{t}}-E^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 0 & -1 \\\\ 4 & -1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]
\displaystyle (D-E)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 0 & -1 \\\\ 4 & -1 & 1 \\\\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]
Não é possível calcular B^{\mathrm{t}}+5C^{\mathrm{t}} (dimensões incompatíveis).
\displaystyle 2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}9 & 1 & -1 \\\\ -13 & 2 & -4 \\\\ 0 & 1 & -6\end{array}\right]
\displaystyle \left(2E^{\mathrm{t}}-3D^{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}9 & -13 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ -1 & -4 & -6\end{array}\right]
\displaystyle A(BC)=\left[\begin{array}{ccc}3 & 45 & 9 \\\\ 11 & -11 & 17 \\\\ 7 & 17 & 13\end{array}\right]
Não é possível calcular BA (dimensões incompatíveis).
\displaystyle CC^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{cc}21 & 17 \\\\ 17 & 35\end{array}\right]
\displaystyle (DA)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 & 11 \\\\ 12 & 1 & 8\end{array}\right]
\displaystyle D^{\mathrm{t}}E^{\mathrm{t}}-(ED)^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Não é possível calcular 4(BC)+2B (dimensões incompatíveis).
\displaystyle B^{\mathrm{t}}\bigl(CC^{\mathrm{t}}-A^{\mathrm{t}}A\bigr)=\left[\begin{array}{cc}40 & 72 \\\\ 26 & 42\end{array}\right]

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