Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 4 & -1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{lll} 1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5 \end{array}\right] \\\ D=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4 \end{array}\right], \quad E=\left[\begin{array}{ccc} 6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3 \end{array}\right] .
Calcule quando possível:
\left(2 E^{\prime}-3 D^{\prime}\right)^{\prime}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (essas são as informações que temos):
A=\begin{pmatrix}3 & 0\\\ -1 & 2\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4 & -1\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2\\\ 3 & 1 & 5\end{pmatrix},
D=\begin{pmatrix}1 & 5 & 2\\\ -1 & 0 & 1\\\ 3 & 2 & 4\end{pmatrix},\quad E=\begin{pmatrix}6 & 1 & 3\\\ -1 & 1 & 2\\\ 4 & 1 & 3\end{pmatrix}.
A pergunta é calcular, quando possível,
\left(2E'-3D'\right)'.

Passo 2

Lembrete prático (propriedades do transposto) que vamos usar — explicadinhas, devagarinho:
  • O transposto de uma matriz troca linhas por colunas: se M é m\times n, então M' é n\times m. Exemplo rápido: se
M=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix},
então
M'=\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 2 & 5\\\ 3 & 6\end{pmatrix}.
  • O transposto é linear, ou seja, para matrizes compatíveis e escalar k real vale:
(A+B)'=A'+B',\qquad (kA)'=kA'.
  • O transposto do transposto volta à matriz original:
(A')'=A.
Essas propriedades permitem manipular expressões com transpostas de forma algébrica.

Passo 3

Aplicando as propriedades ao que foi pedido:
\left(2E'-3D'\right)'=(2E')'-(3D')'.
Usando (kA')'=k(A')' = kA e (A')'=A, obtemos
(2E')'=2(E')'=2E, \qquad (3D')'=3(D')'=3D.
Portanto
\left(2E'-3D'\right)'=2E-3D.
Ou seja, basta calcular a matriz 2E-3D.

Passo 4

Calcular 2E. Multiplicar cada entrada de E pelo escalar 2:
2E=2\begin{pmatrix}6 & 1 & 3\\\ -1 & 1 & 2\\\ 4 & 1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 2 & 6\\\ -2 & 2 & 4\\\ 8 & 2 & 6\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular 3D. Multiplicar cada entrada de D pelo escalar 3:
3D=3\begin{pmatrix}1 & 5 & 2\\\ -1 & 0 & 1\\\ 3 & 2 & 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 15 & 6\\\ -3 & 0 & 3\\\ 9 & 6 & 12\end{pmatrix}.

Passo 6

Agora fazer a subtração matricial 2E-3D entrada a entrada. Subtraindo as matrizes calculadas:
2E-3D= \begin{pmatrix}12 & 2 & 6\\\ -2 & 2 & 4\\\ 8 & 2 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 15 & 6\\\ -3 & 0 & 3\\\ 9 & 6 & 12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12-3 & 2-15 & 6-6\\[4pt] -2-(-3) & 2-0 & 4-3\\[4pt] 8-9 & 2-6 & 6-12 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Calculemos cada entrada:
\begin{aligned} 12-3&=9, & 2-15&=-13, & 6-6&=0,\\\\ -2-(-3)&=1, & 2-0&=2, & 4-3&=1,\\\\ 8-9&=-1, & 2-6&=-4, & 6-12&=-6. \end{aligned}
Logo
2E-3D=\begin{pmatrix}9 & -13 & 0\\\ 1 & 2 & 1\\\ -1 & -4 & -6\end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix}9 & -13 & 0\\[4pt]1 & 2 & 1\\[4pt]-1 & -4 & -6\end{pmatrix}]

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