Caso você tenha resolvido os exercícios do item 1) e mesmo assim continue com dúvidas nas operações entre matrizes resolva os exercícios abaixo:
Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 5\end{array}\right] calcule: A B, B A,(B A) C e B(A C).

Passo 1

O enunciado dá três matrizes:
A=\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] 7 & -4 \\[4pt] 5 & 9\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 3 & -5 & -7 \\[4pt] 6 & 2 & -8 & 3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] -3 & 5\end{pmatrix}.
O enunciado pede para calcular, explicitamente:
  • AB,
  • BA,
  • (BA)C,
  • B(AC).
Vou usar as matrizes exatamente como dadas acima (peguei as entradas do enunciado). Não há outras informações adicionais.]

Passo 2

Regra e ideia para multiplicação de matrizes (aula curta e prática).
  • Se X tem dimensão m\times n e Y tem dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
  • O elemento (i,j) de XY é o produto escalar (dot product) da linha i de X com a coluna j de Y. Em símbolos:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui X_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de X, e Y_{kj} é o elemento da k-ésima linha e j-ésima coluna de Y.
  • Antes de multiplicar, sempre confira as dimensões para ver se o produto está definido.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • A é 4\times2, B é 2\times4, logo AB está definido e tem dimensão 4\times4.
  • B é 2\times4, A é 4\times2, logo BA está definido e tem dimensão 2\times2.
  • C é 2\times2, então (BA)C e B(AC) são produtos de matrizes 2\times2 por 2\times2 (ou 2\times4 por 4\times2 para B(AC)); ambos resultarão em matrizes 2\times2. Não há problema de compatibilidade.

Passo 3

Cálculo de AB. Vou calcular linha a linha de A fazendo produto escalar com cada coluna de B. As colunas de B são
\text{col}_1(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]6\end{pmatrix},\; \text{col}_2(B)=\begin{pmatrix}3\\[2pt]2\end{pmatrix},\; \text{col}_3(B)=\begin{pmatrix}-5\\[2pt]-8\end{pmatrix},\; \text{col}_4(B)=\begin{pmatrix}-7\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Linha 1 de A: \begin{pmatrix}1 & -2\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (AB)_{11}&=1\cdot1+(-2)\cdot6=1-12=-11,\\\ (AB)_{12}&=1\cdot3+(-2)\cdot2=3-4=-1,\\\ (AB)_{13}&=1\cdot(-5)+(-2)\cdot(-8)=-5+16=11,\\\ (AB)_{14}&=1\cdot(-7)+(-2)\cdot3=-7-6=-13. \end{aligned}
Linha 2 de A: \begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (AB)_{21}&=3\cdot1+1\cdot6=3+6=9,\\\ (AB)_{22}&=3\cdot3+1\cdot2=9+2=11,\\\ (AB)_{23}&=3\cdot(-5)+1\cdot(-8)=-15-8=-23,\\\ (AB)_{24}&=3\cdot(-7)+1\cdot3=-21+3=-18. \end{aligned}
Linha 3 de A: \begin{pmatrix}7 & -4\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (AB)_{31}&=7\cdot1+(-4)\cdot6=7-24=-17,\\\ (AB)_{32}&=7\cdot3+(-4)\cdot2=21-8=13,\\\ (AB)_{33}&=7\cdot(-5)+(-4)\cdot(-8)=-35+32=-3,\\\ (AB)_{34}&=7\cdot(-7)+(-4)\cdot3=-49-12=-61. \end{aligned}
Linha 4 de A: \begin{pmatrix}5 & 9\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (AB)_{41}&=5\cdot1+9\cdot6=5+54=59,\\\ (AB)_{42}&=5\cdot3+9\cdot2=15+18=33,\\\ (AB)_{43}&=5\cdot(-5)+9\cdot(-8)=-25-72=-97,\\\ (AB)_{44}&=5\cdot(-7)+9\cdot3=-35+27=-8. \end{aligned}
Portanto
AB=\begin{pmatrix} -11 & -1 & 11 & -13\\[4pt] 9 & 11 & -23 & -18\\[4pt] -17 & 13 & -3 & -61\\[4pt] 59 & 33 & -97 & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de BA. Agora B tem linhas e A tem colunas; vou fazer produto escalar linha de B com coluna de A. As colunas de A são
\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]7\\[2pt]5\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]1\\[2pt]-4\\[2pt]9\end{pmatrix}.
Linha 1 de B: \begin{pmatrix}1 & 3 & -5 & -7\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (BA)_{11}&=1\cdot1+3\cdot3+(-5)\cdot7+(-7)\cdot5=1+9-35-35=-60,\\\ (BA)_{12}&=1\cdot(-2)+3\cdot1+(-5)\cdot(-4)+(-7)\cdot9=-2+3+20-63=-42. \end{aligned}
Linha 2 de B: \begin{pmatrix}6 & 2 & -8 & 3\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (BA)_{21}&=6\cdot1+2\cdot3+(-8)\cdot7+3\cdot5=6+6-56+15=-29,\\\ (BA)_{22}&=6\cdot(-2)+2\cdot1+(-8)\cdot(-4)+3\cdot9=-12+2+32+27=49. \end{aligned}
Portanto
BA=\begin{pmatrix}-60 & -42\\[4pt]-29 & 49\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cálculo de (BA)C. Já tenho BA 2\times2) e C é 2\times2. Uso novamente produto escalar.
Escrevendo BA=\begin{pmatrix}-60 & -42\\[2pt]-29 & 49\end{pmatrix} e C=\begin{pmatrix}2 & 4\\[2pt]-3 & 5\end{pmatrix}.
Linha 1 de BA: \begin{pmatrix}-60 & -42\end{pmatrix}.
\begin{aligned} ((BA)C)_{11}&=-60\cdot2+(-42)\cdot(-3)=-120+126=6,\\\ ((BA)C)_{12}&=-60\cdot4+(-42)\cdot5=-240-210=-450. \end{aligned}
Linha 2 de BA: \begin{pmatrix}-29 & 49\end{pmatrix}.
\begin{aligned} ((BA)C)_{21}&=-29\cdot2+49\cdot(-3)=-58-147=-205,\\\ ((BA)C)_{22}&=-29\cdot4+49\cdot5=-116+245=129. \end{aligned}
Então
(BA)C=\begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo de AC (etapa intermediária necessária para B(AC)). A é 4\times2 e C é 2\times2, logo AC será 4\times2.
Colunas de C: \begin{pmatrix}2\\[2pt]-3\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}4\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Linha 1 de A: \begin{pmatrix}1 & -2\end{pmatrix}.
(AC)_{11}=1\cdot2+(-2)\cdot(-3)=2+6=8,\qquad (AC)_{12}=1\cdot4+(-2)\cdot5=4-10=-6.
Linha 2 de A: \begin{pmatrix}3 & 1\end{pmatrix}.
(AC)_{21}=3\cdot2+1\cdot(-3)=6-3=3,\qquad (AC)_{22}=3\cdot4+1\cdot5=12+5=17.
Linha 3 de A: \begin{pmatrix}7 & -4\end{pmatrix}.
(AC)_{31}=7\cdot2+(-4)\cdot(-3)=14+12=26,\qquad (AC)_{32}=7\cdot4+(-4)\cdot5=28-20=8.
Linha 4 de A: \begin{pmatrix}5 & 9\end{pmatrix}.
(AC)_{41}=5\cdot2+9\cdot(-3)=10-27=-17,\qquad (AC)_{42}=5\cdot4+9\cdot5=20+45=65.
Portanto
AC=\begin{pmatrix} 8 & -6\\[4pt] 3 & 17\\[4pt] 26 & 8\\[4pt] -17 & 65 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Cálculo de B(AC). Agora B é 2\times4 e AC é 4\times2, então o produto dá uma matriz 2\times2. Vou multiplicar linha a linha como antes.
Linha 1 de B: \begin{pmatrix}1 & 3 & -5 & -7\end{pmatrix}.
Colunas de AC: \text{col}_1(AC)=\begin{pmatrix}8\\[2pt]3\\[2pt]26\\[2pt]-17\end{pmatrix}, \text{col}_2(AC)=\begin{pmatrix}-6\\[2pt]17\\[2pt]8\\[2pt]65\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (B(AC))_{11}&=1\cdot8+3\cdot3+(-5)\cdot26+(-7)\cdot(-17)=8+9-130+119=6,\\\ (B(AC))_{12}&=1\cdot(-6)+3\cdot17+(-5)\cdot8+(-7)\cdot65=-6+51-40-455=-450. \end{aligned}
Linha 2 de B: \begin{pmatrix}6 & 2 & -8 & 3\end{pmatrix}.
\begin{aligned} (B(AC))_{21}&=6\cdot8+2\cdot3+(-8)\cdot26+3\cdot(-17)=48+6-208-51=-205,\\\ (B(AC))_{22}&=6\cdot(-6)+2\cdot17+(-8)\cdot8+3\cdot65=-36+34-64+195=129. \end{aligned}
Portanto
B(AC)=\begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}.
Observação útil e reconfortante: os dois resultados (BA)C e B(AC) são iguais, como deve acontecer pela propriedade associativa da multiplicação de matrizes (quando os produtos estão todos definidos). Aqui obtivemos a mesma matriz 2\times2.]

Resposta

AB=\begin{pmatrix} -11 & -1 & 11 & -13\\[4pt] 9 & 11 & -23 & -18\\[4pt] -17 & 13 & -3 & -61\\[4pt] 59 & 33 & -97 & -8 \end{pmatrix}
BA=\begin{pmatrix}-60 & -42\\[4pt]-29 & 49\end{pmatrix}
(BA)C=\begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}
B(AC)=\begin{pmatrix}6 & -450\\[4pt]-205 & 129\end{pmatrix}]

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