Caso você tenha resolvido os exercícios do item 1) e mesmo assim continue com dúvidas nas operações entre matrizes resolva os exercícios abaixo:
Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\\\ -3 & 5\end{array}\right] calcule: A B, B A,(B A) C e B(A C).
Vou usar as matrizes exatamente como dadas acima (peguei as entradas do enunciado). Não há outras informações adicionais.]
Passo 2
Regra e ideia para multiplicação de matrizes (aula curta e prática).
Se X tem dimensão m\times n e Y tem dimensão n\times p, então o produto XY está definido e tem dimensão m\times p.
O elemento (i,j) de XY é o produto escalar (dot product) da linha i de X com a coluna j de Y. Em símbolos:
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj}.
Aqui X_{ik} é o elemento da i-ésima linha e k-ésima coluna de X, e Y_{kj} é o elemento da k-ésima linha e j-ésima coluna de Y.
Antes de multiplicar, sempre confira as dimensões para ver se o produto está definido.
Aplicando isso ao nosso caso:
A é 4\times2, B é 2\times4, logo AB está definido e tem dimensão 4\times4.
B é 2\times4, A é 4\times2, logo BA está definido e tem dimensão 2\times2.
C é 2\times2, então (BA)C e B(AC) são produtos de matrizes 2\times2 por 2\times2 (ou 2\times4 por 4\times2 para B(AC)); ambos resultarão em matrizes 2\times2. Não há problema de compatibilidade.
Passo 3
Cálculo de AB. Vou calcular linha a linha de A fazendo produto escalar com cada coluna de B. As colunas de B são
Cálculo de B(AC). Agora B é 2\times4 e AC é 4\times2, então o produto dá uma matriz 2\times2. Vou multiplicar linha a linha como antes.
Linha 1 de B: \begin{pmatrix}1 & 3 & -5 & -7\end{pmatrix}.
Colunas de AC: \text{col}_1(AC)=\begin{pmatrix}8\\[2pt]3\\[2pt]26\\[2pt]-17\end{pmatrix}, \text{col}_2(AC)=\begin{pmatrix}-6\\[2pt]17\\[2pt]8\\[2pt]65\end{pmatrix}.
Observação útil e reconfortante: os dois resultados (BA)C e B(AC) são iguais, como deve acontecer pela propriedade associativa da multiplicação de matrizes (quando os produtos estão todos definidos). Aqui obtivemos a mesma matriz 2\times2.]