Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] ; B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] ; C=\left[\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] ; D=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & -2 \\\\ -5 & 3\end{array}\right] Em cada parte, calcule a expressão dada (se possível).
\operatorname{tr}(\mathrm{AC})

Passo 1

O enunciado pede \operatorname{tr}(AC) para
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Como A é 3\times2 e C é 2\times3, o produto AC existe e é 3\times3. Para simplificar, usamos a propriedade
\operatorname{tr}(AC)=\operatorname{tr}(CA),
e como CA é 2\times2, fica mais fácil calcular.

Passo 2

Vamos calcular
CA = C\,A = \begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Por exemplo, o elemento (1,1) de CA é
1\cdot3 + 4\cdot(-1) + 2\cdot1 = 3-4+2 = 1,
e assim obtemos
CA = \begin{pmatrix}1 & 10 \\\\ 13 & 7\end{pmatrix}.

Passo 3

O traço de CA é a soma dos elementos da diagonal principal:
\operatorname{tr}(CA) = 1 + 7 = 8.
Logo,
\operatorname{tr}(AC)=\operatorname{tr}(CA)=8.

Resposta

8

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