Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\\\ 2 & 1 & -3 \\\\ 4 & -3 & -1 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 4 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 & -1 \\\\ 1 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & 3 \\\\ 3 & -2 & -1 & 1 \\\\ 2 & -5 & -1 & 1 \end{array}\right]
Verifique que A B=A C.

Passo 1

O enunciado fornece três matrizes e pede para verificar que A B = A C. Vou listar explicitamente os dados que temos:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -3\\[4pt] 4 & -3 & -1 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -2 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 3 & -2 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
A tarefa é mostrar, por cálculo, que as duas matrizes produto A B e A C são iguais.]

Passo 2

Antes de multiplicar, é importante checar as dimensões e a forma da multiplicação de matrizes. Regra geral: se A é m\times n e X é n\times p, então o produto AX existe e é uma matriz m\times p cuja entrada (i,j) é
(AX)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,x_{kj},
onde a_{ik} é a entrada da linha i e coluna k de A, e x_{kj} é a entrada da linha k e coluna j de X.
Aqui A é 3\times3 e B e C são 3\times4. Logo os produtos AB e AC existem e serão ambos matrizes 3\times4. Vou calcular as entradas usando a fórmula acima, fazendo produto escalar entre cada linha de A e cada coluna de B (para AB) e de C (para AC).

Passo 3

Vou anotar as linhas de A e as colunas de B e C para facilitar os cálculos:
linhas de A:
r_1(A)=(1,\,-3,\,2),\qquad r_2(A)=(2,\,1,\,-3),\qquad r_3(A)=(4,\,-3,\,-1).
colunas de B:
c_1(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_2(B)=\begin{pmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{pmatrix},\quad c_3(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad c_4(B)=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
colunas de C:
c_1\text{(C)}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix},\quad c_2\text{(C)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]-5\end{pmatrix},\quad c_3\text{(C)}=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\quad c_4\text{(C)}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Lembrete prático: cada entrada (AB)_{ij} é r_i(A)\cdot c_j(B) (produto escalar), e cada (AC)_{ij} é r_i(A)\cdot c_j\text{(C)}.]

Passo 4

Calcular as entradas da primeira linha de AB, isto é r_1(A) vezes cada coluna de B.
Produto escalar com c_1(B):
(AB)_{11}=1\cdot1+(-3)\cdot2+2\cdot1=1-6+2=-3.
Produto escalar com c_2(B):
(AB)_{12}=1\cdot4+(-3)\cdot1+2\cdot(-2)=4-3-4=-3.
Produto escalar com c_3(B):
(AB)_{13}=1\cdot1+(-3)\cdot1+2\cdot1=1-3+2=0.
Produto escalar com c_4(B):
(AB)_{14}=1\cdot1+(-3)\cdot(-1)+2\cdot(-1)=1+3-2=2.
Portanto a primeira linha de AB é (-3,\,-3,\,0,\,2).

Passo 5

Calcular as entradas da segunda linha de AB, usando r_2(A)=(2,1,-3).
Produto escalar com c_1(B):
(AB)_{21}=2\cdot1+1\cdot2+(-3)\cdot1=2+2-3=1.
Produto escalar com c_2(B):
(AB)_{22}=2\cdot4+1\cdot1+(-3)\cdot(-2)=8+1+6=15.
Produto escalar com c_3(B):
(AB)_{23}=2\cdot1+1\cdot1+(-3)\cdot1=2+1-3=0.
Produto escalar com c_4(B):
(AB)_{24}=2\cdot1+1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)=2-1+3=4.
Segunda linha de AB é (1,\,15,\,0,\,4).

Passo 6

Calcular as entradas da terceira linha de AB, usando r_3(A)=(4,-3,-1).
Produto escalar com c_1(B):
(AB)_{31}=4\cdot1+(-3)\cdot2+(-1)\cdot1=4-6-1=-3.
Produto escalar com c_2(B):
(AB)_{32}=4\cdot4+(-3)\cdot1+(-1)\cdot(-2)=16-3+2=15.
Produto escalar com c_3(B):
(AB)_{33}=4\cdot1+(-3)\cdot1+(-1)\cdot1=4-3-1=0.
Produto escalar com c_4(B):
(AB)_{34}=4\cdot1+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=4+3+1=8.
Terceira linha de AB é (-3,\,15,\,0,\,8).

Passo 7

Juntando as linhas calculadas, obtemos
AB=\begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 15 & 0 & 4\\[4pt] -3 & 15 & 0 & 8 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora faço os mesmos cálculos para AC. Calcular as entradas da primeira linha de AC, usando r_1(A)=(1,-3,2) e as colunas de C.
Produto escalar com c_1\text{(C)}:
(AC)_{11}=1\cdot2+(-3)\cdot3+2\cdot2=2-9+4=-3.
Produto escalar com c_2\text{(C)}:
(AC)_{12}=1\cdot1+(-3)\cdot(-2)+2\cdot(-5)=1+6-10=-3.
Produto escalar com c_3\text{(C)}:
(AC)_{13}=1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)+2\cdot(-1)=-1+3-2=0.
Produto escalar com c_4\text{(C)}:
(AC)_{14}=1\cdot3+(-3)\cdot1+2\cdot1=3-3+2=2.
Primeira linha de AC é (-3,\,-3,\,0,\,2).

Passo 9

Segunda linha de AC, com r_2(A)=(2,1,-3):
Produto escalar com c_1\text{(C)}:
(AC)_{21}=2\cdot2+1\cdot3+(-3)\cdot2=4+3-6=1.
Produto escalar com c_2\text{(C)}:
(AC)_{22}=2\cdot1+1\cdot(-2)+(-3)\cdot(-5)=2-2+15=15.
Produto escalar com c_3\text{(C)}:
(AC)_{23}=2\cdot(-1)+1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)=-2-1+3=0.
Produto escalar com c_4\text{(C)}:
(AC)_{24}=2\cdot3+1\cdot1+(-3)\cdot1=6+1-3=4.
Segunda linha de AC é (1,\,15,\,0,\,4).

Passo 10

Terceira linha de AC, com r_3(A)=(4,-3,-1):
Produto escalar com c_1\text{(C)}:
(AC)_{31}=4\cdot2+(-3)\cdot3+(-1)\cdot2=8-9-2=-3.
Produto escalar com c_2\text{(C)}:
(AC)_{32}=4\cdot1+(-3)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-5)=4+6+5=15.
Produto escalar com c_3\text{(C)}:
(AC)_{33}=4\cdot(-1)+(-3)\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=-4+3+1=0.
Produto escalar com c_4\text{(C)}:
(AC)_{34}=4\cdot3+(-3)\cdot1+(-1)\cdot1=12-3-1=8.
Terceira linha de AC é (-3,\,15,\,0,\,8).

Passo 11

Juntando as linhas, obtemos
AC=\begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 15 & 0 & 4\\[4pt] -3 & 15 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
Comparando com o AB calculado no Passo 7, vemos que todas as entradas coincidem. Portanto AB=AC, como pedido.]

Resposta

AB=AC=\begin{pmatrix} -3 & -3 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 15 & 0 & 4\\[4pt] -3 & 15 & 0 & 8 \end{pmatrix}]

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