Considere as matrizes
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 4 \end{array}\right] \quad \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -3 \\\\ -1 & -2 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{C}=\left[\begin{array}{cccc} 2 & -3 & 0 & 1 \\\\ 5 & -1 & -4 & 2 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right] \quad \mathrm{D}=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right]
Encontre, se possivel,
g) BC

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto matricial \mathrm{B}\mathrm{C}. Aqui entramos em Álgebra Linear e vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: se \mathrm{B} é de dimensão 2\times3 e \mathrm{C} é de dimensão 3\times4, então \mathrm{B}\mathrm{C} existe e terá dimensão 2\times4. Para cada elemento (i,j) de \mathrm{B}\mathrm{C} fazemos o produto escalar da i-ésima linha de \mathrm{B} pela j-ésima coluna de \mathrm{C}.

Passo 2

Verificamos dimensões e anotamos linhas e colunas: \mathrm{B}=\bigl[\begin{smallmatrix}4 & 0 & -3\\\\ -1 & -2 & 3\end{smallmatrix}\bigr], \mathrm{C}=\bigl[\begin{smallmatrix}2 & -3 & 0 & 1\\\\ 5 & -1 & -4 & 2\\\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\bigr].
Então cada entrada (\mathrm{B}\mathrm{C})_{ij}=\sum_{k=1}^{3}B_{ik}\,C_{kj}.

Passo 3

Calculamos a primeira linha de \mathrm{B}\mathrm{C}:
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{11}=4\cdot2+0\cdot5+(-3)\cdot(-1)=8+0+3=11,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{12}=4\cdot(-3)+0\cdot(-1)+(-3)\cdot0=-12+0+0=-12,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{13}=4\cdot0+0\cdot(-4)+(-3)\cdot0=0+0+0=0,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{14}=4\cdot1+0\cdot2+(-3)\cdot3=4+0-9=-5.

Passo 4

Agora a segunda linha de \mathrm{B}\mathrm{C}:
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{21}=(-1)\cdot2+(-2)\cdot5+3\cdot(-1)=-2-10-3=-15,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{22}=(-1)\cdot(-3)+(-2)\cdot(-1)+3\cdot0=3+2+0=5,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{23}=(-1)\cdot0+(-2)\cdot(-4)+3\cdot0=0+8+0=8,
(\mathrm{B}\mathrm{C})_{24}=(-1)\cdot1+(-2)\cdot2+3\cdot3=-1-4+9=4.

Resposta

\mathrm{B}\mathrm{C} = \begin{pmatrix} 11 & -12 & 0 & -5\\\\ -15 & 5 & 8 & 4 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados