1. Considere as matrizes das transformações T_{1} e T_{2} (em relação as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3} ),
\left[T_{1}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right], \quad\left[T_{2}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]
Determine T_{1} \circ T_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares \;T_{1}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com matriz em relação à base canônica
[T_{1}] = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix}
e \;T_{2}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} com matriz
[T_{2}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Pede-se T_{1}\circ T_{2}, que é uma transformação de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2}. Para encontrar sua matriz basta calcular o produto de matrizes
[T_{1}\circ T_{2}] \;=\;[T_{1}]\,[T_{2}].

Passo 2

Escrevemos explicitamente as dimensões para verificar a compatibilidade:
[T_{1}]\;\text{é }2\times 2, \quad [T_{2}]\;\text{é }2\times 3,éé
logo [T_{1}]\,[T_{2}] é um produto de 2\times 2 por 2\times 3, resultando numa matriz 2\times 3.

Passo 3

Para fazer o produto
[T_{1}\circ T_{2}] = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix},
calculamos linha por coluna:
(1,1): 1\cdot1 + 2\cdot2 = 1 + 4 = 5
(1,2): 1\cdot0 + 2\cdot1 = 0 + 2 = 2
(1,3): 1\cdot(-1) + 2\cdot1 = -1 + 2 = 1
(2,1): (-1)\cdot1 + 3\cdot2 = -1 + 6 = 5
(2,2): (-1)\cdot0 + 3\cdot1 = 0 + 3 = 3
(2,3): (-1)\cdot(-1) + 3\cdot1 = 1 + 3 = 4

Resposta

[T_{1}\circ T_{2}] = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\\\ 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

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