Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
1.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definido por
T(x,y) = (2x + 2y,\;x + 3y)
e pede os autovalores e autovetores. Representamos T pela matriz
A = \begin{pmatrix}2 & 2 \\\\ 1 & 3\end{pmatrix}
e usamos a condição de autovalor e autovetor,
T(v)=\lambda v,
que em termos de matriz é
A v = \lambda v.
Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e depois achamos os vetores não nulos no núcleo de A-\lambda I.

Passo 2

Escrevemos A - \lambda I e calculamos seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 2 \\[6pt] 1 & 3-\lambda\end{pmatrix},
então
\chi(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(3-\lambda) - 2\cdot 1.]

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(2-\lambda)(3-\lambda) - 2 = (6 -2\lambda -3\lambda + \lambda^2) - 2 = \lambda^2 -5\lambda +4.
Assim
\chi(\lambda) = \lambda^2 -5\lambda +4.

Passo 4

Resolvendo \chi(\lambda)=0:
\lambda^2 -5\lambda +4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\lambda -4)(\lambda -1)=0,
portanto
\lambda_1 = 4 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 1.

Passo 5

Autovetores para \lambda_1 = 4. Resolvemos
(A - 4I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[3pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha -2x + 2y = 0 vem y = x. Logo os autovetores são todos múltiplos de
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Autovetores para \lambda_2 = 1. Resolvemos
(A - I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha x + 2y = 0 segue x = -2y. Assim os autovetores são todos múltiplos de
v_2 = \begin{pmatrix}-2 \\\\ 1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores são
\lambda_1 = 4,\quad \lambda_2 = 1.
Um conjunto de autovetores correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{(para \(\lambda_1=4\))}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix} \quad\text{(para \(\lambda_2=1\))}.

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