Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
1.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y).
1.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 x+2 y, x+3 y).
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
e pede os autovalores e autovetores. Representamos
pela matriz
e usamos a condição de autovalor e autovetor,
que em termos de matriz é
Para encontrar
calculamos o polinômio característico
e depois achamos os vetores não nulos no núcleo de
.
Passo 2
Escrevemos
e calculamos seu determinante:
então
Passo 3
Expandindo e simplificando:
Assim
Passo 4
Resolvendo
:
portanto
Passo 5
Autovetores para
. Resolvemos
Da primeira linha
vem
. Logo os autovetores são todos múltiplos de
Passo 6
Autovetores para
. Resolvemos
Da primeira linha
segue
. Assim os autovetores são todos múltiplos de
Resposta
Os autovalores são
Um conjunto de autovetores correspondente é