Considere uma membrana retangular fixa nas bordas, ocupando a região
O deslocamento transversal da membrana é descrito por
, que satisfaz a equação de onda bidimensional
com
. A membrana está fixa ao longo de toda a fronteira, de modo que
, e
.
Além disso, são dadas as condições iniciais
Além disso, são dadas as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá exatamente o seguinte problema (vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos):
- A equação parcial para o deslocamento é
para
.
- Condições de contorno (membrana fixa nas bordas):
- Condições iniciais:
O que o enunciado pede: encontrar a solução
que satisfaça a PDE, as condições de contorno e as condições iniciais — isto é, expressar
em termos de auto-modos e as funções iniciais
e
.
Passo 2
Escolhendo o método: vamos usar separação de variáveis e expandir a solução em série de modos (senois) que satisfaçam as condições de contorno. Isso é o método clássico e mais direto para uma membrana retangular com contorno fixo.
Primeiro assumimos uma solução do tipo separável
Substituindo na PDE e dividindo por
obtemos
O lado esquerdo depende só de
e o lado direito só de
, logo ambos devem ser iguais a uma constante (separação de variáveis). Vamos prosseguir em etapas para separar em dois problemas unidimensionais.
Passo 3
Fazendo a separação espacial em duas partes: escrevemos
onde
é uma constante de separação (escolha do sinal conveniente para obter modos oscilatórios no tempo). Reescrevendo,
com
. Aqui
e
são constantes não-negativas a determinar pelos contornos.
Assim obtemos dois problemas de Sturm–Liouville unidimensionais:
Passo 4
Resolver os problemas unidimensionais (autovalores e autovetores):
Para
: as condições de contorno homogêneas em
e
implicam autovalores e autovetores do tipo seno. Não aceitaremos a solução nula, então os autovalores são
com autofunções
Analogamente, para
:
com
Portanto cada par
produz um modo espacial
Passo 5
Equação temporal para cada modo: para um modo com
a equação temporal fica
Definindo a frequência angular do modo
como
a equação temporal é a equação do oscilador harmônico
cuja solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 6
Montando a soma de modos: pela linearidade da equação, a solução geral é soma (série dupla) sobre todos os modos
:
Agora precisamos aprender a determinar
e
a partir de
e
. Para isso usamos propriedades de ortogonalidade dos senos.
Passo 7
Ortogonalidade e fórmula para coeficientes — explicado passo a passo:
Propriedade básica: para
O mesmo vale no eixo
. Isso significa que as funções
formam um sistema ortogonal no retângulo com produto interno
Para
e
o produto dá
Observe que isso vem de multiplicar
por
.
Agora projetamos as condições iniciais nas autofunções para obter os coeficientes:
- Da condição inicial
, avaliando a série em :
Multiplicando ambos os lados por
e integrando no retângulo, pela ortogonalidade,
Logo
- Da condição inicial
: derivando a série em e avaliando em dá
Projetando como antes, obtemos
Portanto
Essas fórmulas fornecem
e
em termos de
e
.]
Passo 8
Interpretação e dica prática: cada par
representa um modo de vibração da membrana com “padrão” espacial
e frequência
. Na prova, siga esta receita:
- Escreva os modos
e as frequências . - Expresse
como soma de . - Calcule
e projetando e sobre usando a integral dupla e multiplicando por ; no caso de também divida por .
Se na prova der funções simples para
e
(por ex. senos compatíveis com os modos), as integrais são fáceis: muitas vezes só um termo da série é não nulo.
Passo 9
Exemplo rápido (para fixar a ideia): se
então somente
e todos os outros
. A solução fica
Isso mostra como as fórmulas funcionam na prática e como é simples quando as condições iniciais já estão na forma de um modo.
Passo 10
Resumo técnico final: a solução está dada pela série dupla de modos com coeficientes projetados por integrais duplas. A convergência e regularidade dependem de quão suaves são
e
, mas a fórmula abaixo é a forma padrão que se usa em provas e aplicações.
Resposta
com