É correto afirmar que qualquer função da forma u(x, t)=f(x-v t)+g(x+v t) é solução da equação de onda unidimensional? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) e pergunta se qualquer função dessa forma é solução da equação da onda unidimensional. A equação da onda unidimensional que vamos verificar é
\partial_{tt}u = v^{2}\,\partial_{xx}u.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • v é uma constante (velocidade);
  • f e g são funções de uma variável (presume-se suficiente regularidade para diferenciar duas vezes);
  • A pergunta pede justificação, ou seja, mostrar se substituindo u na equação da onda a igualdade vale.

Passo 2

Preparação matemática: vou aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Para facilitar, define-se as variáveis
\xi = x - v t,\qquad \eta = x + v t.
Assim u(x,t)=f(\xi)+g(\eta). Lembrete da regra da cadeia em uma forma simples: se h é função de uma variável e \xi=\xi(x,t), então
\partial_x (h(\xi)) = h'(\xi)\,\partial_x \xi, \qquad \partial_t (h(\xi)) = h'(\xi)\,\partial_t \xi,
onde h'(\xi) é a derivada de h em relação ao seu argumento. Aqui é importante que f e g sejam pelo menos C^{2} (duas vezes diferenciáveis) para que possamos calcular segundas derivadas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \xi e \eta:
\partial_x \xi = 1,\quad \partial_t \xi = -v,\qquad \partial_x \eta = 1,\quad \partial_t \eta = v.

Passo 4

Calcular \partial_x u usando a regra da cadeia:
\partial_x u = \partial_x\big(f(\xi)+g(\eta)\big) = f'(\xi)\,\partial_x\xi + g'(\eta)\,\partial_x\eta = f'(\xi) + g'(\eta).

Passo 5

Calcular \partial_{xx} u diferenciando \partial_x u em relação a x:
\partial_{xx}u = \partial_x\big(f'(\xi)+g'(\eta)\big) = f''(\xi)\,\partial_x\xi + g''(\eta)\,\partial_x\eta = f''(\xi) + g''(\eta).
Aqui f'' e g'' são as segundas derivadas de f e g em seus argumentos.

Passo 6

Calcular \partial_t u usando a regra da cadeia:
\partial_t u = \partial_t\big(f(\xi)+g(\eta)\big) = f'(\xi)\,\partial_t\xi + g'(\eta)\,\partial_t\eta = f'(\xi)\,(-v) + g'(\eta)\,v = -v\,f'(\xi) + v\,g'(\eta).

Passo 7

Calcular \partial_{tt}u diferenciando \partial_t u em relação a t:
\partial_{tt}u = \partial_t\big(-v f'(\xi) + v g'(\eta)\big).
Aplicando a regra da cadeia a cada termo:
\partial_{tt}u = -v\big(f''(\xi)\,\partial_t\xi\big) + v\big(g''(\eta)\,\partial_t\eta\big).
Substituindo \partial_t\xi=-v e \partial_t\eta=v:
\partial_{tt}u = -v\big(f''(\xi)\,(-v)\big) + v\big(g''(\eta)\,v\big) = v^{2}f''(\xi) + v^{2}g''(\eta).

Passo 8

Comparar \partial_{tt}u com v^{2}\partial_{xx}u. Do Passo 5 temos \partial_{xx}u = f''(\xi)+g''(\eta). Multiplicando por v^{2}:
v^{2}\partial_{xx}u = v^{2}\big(f''(\xi)+g''(\eta)\big) = v^{2}f''(\xi)+v^{2}g''(\eta).
Isso é exatamente o que encontramos para \partial_{tt}u no Passo 7. Portanto
\partial_{tt}u = v^{2}\partial_{xx}u.

Passo 9

Interpretação final e observações didáticas:
  • Conclui-se que qualquer função da forma u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) satisfaz a equação da onda unidimensional, desde que f e g sejam pelo menos C^{2}.
  • Intuição física: f(x-vt) representa uma onda que se desloca para a direita com velocidade v e g(x+vt) representa uma onda que se desloca para a esquerda; por linearidade da equação da onda, a soma também é solução.
  • Nota adicional: sob hipóteses adequadas (por exemplo, condições iniciais e regularidade), a solução geral da equação da onda em uma reta é dada exatamente pela soma de duas funções de onda unidirecional (fórmula de d’Alembert).

Resposta

Sim. Para f,g\in C^{2} tem-se \partial_{tt}u = v^{2}\partial_{xx}u, ou seja, u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt) satisfaz a equação da onda unidimensional.

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