É correto afirmar que qualquer função da forma
é solução da equação de onda unidimensional? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se qualquer função dessa forma é solução da equação da onda unidimensional. A equação da onda unidimensional que vamos verificar é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é uma constante (velocidade); -
e são funções de uma variável (presume-se suficiente regularidade para diferenciar duas vezes); - A pergunta pede justificação, ou seja, mostrar se substituindo
na equação da onda a igualdade vale.
Passo 2
Preparação matemática: vou aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais. Para facilitar, define-se as variáveis
Assim
. Lembrete da regra da cadeia em uma forma simples: se
é função de uma variável e
, então
onde
é a derivada de
em relação ao seu argumento. Aqui é importante que
e
sejam pelo menos
(duas vezes diferenciáveis) para que possamos calcular segundas derivadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Calcular
usando a regra da cadeia:
Passo 5
Calcular
diferenciando
em relação a
:
Aqui
e
são as segundas derivadas de
e
em seus argumentos.
Passo 6
Calcular
usando a regra da cadeia:
Passo 7
Calcular
diferenciando
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia a cada termo:
Substituindo
e
:
Passo 8
Comparar
com
. Do Passo 5 temos
. Multiplicando por
:
Isso é exatamente o que encontramos para
no Passo 7. Portanto
Passo 9
Interpretação final e observações didáticas:
- Conclui-se que qualquer função da forma
satisfaz a equação da onda unidimensional, desde que e sejam pelo menos . - Intuição física:
representa uma onda que se desloca para a direita com velocidade e representa uma onda que se desloca para a esquerda; por linearidade da equação da onda, a soma também é solução. - Nota adicional: sob hipóteses adequadas (por exemplo, condições iniciais e regularidade), a solução geral da equação da onda em uma reta é dada exatamente pela soma de duas funções de onda unidirecional (fórmula de d’Alembert).
Resposta
Sim. Para
tem-se
, ou seja,
satisfaz a equação da onda unidimensional.