Uma mola de comprimento L_{0}=35 \mathrm{~cm} está presa no fundo de uma caixa d’água vazia. Prende-se sobre esta mola um copo metálico vazio de massa \mathrm{m}=750 \mathrm{~g}, altura \mathrm{h}=12,5 \mathrm{~cm} e área da seçāo transversal S=300 \mathrm{~cm}^{2}. O copo comprime a mola, a qual fica com comprimento L_{1}=20 \mathrm{~cm}. A caixa é entāo enchida com água, quando o nível da água atinge a altura H, começa a entrar água no copo. (a) Qual o valor da constante elástica da mola? (b) Qual o valor da intensidade da força que traciona o copo quando a água começa a entrar no copo? (c) Qual o valor da altura H ? Use \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \rho_{a}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números convertidos para o SI (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
  • Comprimento natural da mola: L_{0}=0,35\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da mola com o copo apoiado inicialmente: L_{1}=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Massa do copo: m=0,75\\ \mathrm{kg}.
  • Altura do copo: h=0,125\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal do copo: S=300\\ \mathrm{cm}^{2}=0,03\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Densidade da água: \rho_{a}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O enunciado pede:
(a) o valor da constante elástica k da mola;
(b) a intensidade da força que “traciona” (puxa para baixo) o copo no instante em que a água começa a entrar no copo;
(c) o valor da altura H do nível da água no momento em que a água começa a entrar no copo.

Passo 2

Entender a situação inicial e como encontrar k.
Quando o copo está vazio e apoiado sobre a mola na posição L_{1}, o sistema está em equilíbrio vertical. As únicas forças verticais sobre o copo são o peso mg (para baixo) e a força da mola sobre o copo (para cima, pois a mola está comprimida). Pela segunda lei (equilíbrio), as forças se equilibram:
\text{força da mola} = mg.ç
Para uma mola que foi comprimida em x=L_{0}-L_{1} vale a Lei de Hooke (módulo da força elástica):
\text{força da mola} = k\,(L_{0}-L_{1}).ç
Aqui k é a constante elástica que queremos, L_{0} é o comprimento natural da mola e L_{1} é o comprimento sob carga.

Passo 3

Aplicar a fórmula para achar k.
Calculo a compressão:
L_{0}-L_{1}=0,35-0,20=0,15\\ \mathrm{m}.
Peso do copo:
mg=0,75\cdot 10=7,5\\ \mathrm{N}.
Igualando:
k\,(0,15)=7,5 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{7,5}{0,15}=50\\ \mathrm{N/m}.
Explicação curta da fórmula usada: a Lei de Hooke diz que a força elástica é proporcional à deformação; a constante k mede “o quanto a mola é dura” (unidade \mathrm{N/m}).

Passo 4

Entender o que acontece quando a água sobe e antes de entrar no copo: força de empuxo.
Enquanto a água ainda não entrou no copo (nível externo abaixo da borda), a água exerce um empuxo sobre o copo igual ao peso do fluido deslocado (Princípio de Arquimedes). Se a altura do nível externo acima da base do copo for y (submersão do copo), o volume de água deslocado é V_{\text{des}}=S\,y. Então o empuxo vale:
F_{b}=\rho_{a}\,g\,V_{\text{des}}=\rho_{a}\,g\,S\,y.
No instante em que a água começa a ENTRAR no copo, o nível externo acabou de atingir a borda do copo, então a altura de submersão do copo é exatamente y=h. Logo, no instante crítico:
F_{b}=\rho_{a}\,g\,S\,h.
Aqui F_{b} é a força de empuxo (para cima), \rho_{a} é a densidade da água, g a gravidade, S a área da seção do copo e h a altura do copo.

Passo 5

Calcular numericamente o empuxo no instante em que a água começa a entrar.
Substituindo os valores:
F_{b}=\;1000\cdot 10\cdot 0,03\cdot 0,125.
Faço em etapas: S\cdot h=0,03\cdot 0,125=0,00375\\ \mathrm{m^{3}} (volume deslocado quando o copo estiver totalmente submerso lateralmente até a borda), e
F_{b}=1000\cdot 10\cdot 0,00375=37,5\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Equilíbrio de forças no instante crítico e interpretação da direção da força da mola.
No instante em que a água começa a entrar, há três forças verticais atuando no copo:
  • empuxo F_{b}=37,5\\ \mathrm{N} para cima,
  • peso mg=7,5\\ \mathrm{N} para baixo,
  • força da mola sobre o copo, que pode estar empurrando para cima (se a mola estiver comprimida) ou puxando para baixo (se a mola estiver esticada). Vamos determinar seu valor e sentido pela equação de equilíbrio (soma das forças = 0).
Escolhendo para cima positivo, a soma das forças é:
F_{b} + F_{\text{mola,up}} - mg = 0,
onde F_{\text{mola,up}} é a componente da força da mola com sinal positivo quando empurra para cima. Reescrevendo:
F_{\text{mola,up}} = mg - F_{b}.
Substituindo números:
F_{\text{mola,up}} = 7,5 - 37,5 = -30\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo significa que a força da mola tem sentido para baixo (a mola está tracionando o copo), e a intensidade dessa tração é 30\\ \mathrm{N}. Este é o valor pedido no item (b): a mola está em tensão e puxa o copo para baixo com 30\\ \mathrm{N}.
Comentário físico: como o empuxo é maior que o peso do copo, o copo tenderia a subir; para manter equilíbrio o fio (aqui a mola) precisa puxar para baixo. No nosso caso a mola passou de comprimida para esticada.

Passo 7

Determinar a posição da mola (comprimento L) no instante crítico e então o nível H.
Quando a mola está esticada (comprimento L maior que L_{0}), a intensidade da força da mola (que puxa para baixo) é dada por k\,(L-L_{0}). Já sabemos a intensidade dessa força: 30\\ \mathrm{N}. Assim:
k\,(L-L_{0})=30.
Usando k=50\\ \mathrm{N/m} e L_{0}=0,35\\ \mathrm{m}:
L-L_{0}=\frac{30}{50}=0,6\\ \mathrm{m},
L=0,35+0,6=0,95\\ \mathrm{m}.
A borda do copo está na altura L+h acima do fundo da caixa, e a água começa a entrar quando o nível externo alcança essa borda; portanto
H=L+h=0,95+0,125=1,075\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) k=50\\ \mathrm{N/m}
(b) F=30\\ \mathrm{N}
(c) H=1,075\\ \mathrm{m}

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