Uma mola de comprimento
está presa no fundo de uma caixa d’água vazia. Prende-se sobre esta mola um copo metálico vazio de massa
, altura
e área da seçāo transversal
. O copo comprime a mola, a qual fica com comprimento
. A caixa é entāo enchida com água, quando o nível da água atinge a altura
, começa a entrar água no copo. (a) Qual o valor da constante elástica da mola? (b) Qual o valor da intensidade da força que traciona o copo quando a água começa a entrar no copo? (c) Qual o valor da altura
? Use
e
.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, com todos os números convertidos para o SI (peguei estes valores do enunciado).
Dados:
- Comprimento natural da mola:
. - Comprimento da mola com o copo apoiado inicialmente:
. - Massa do copo:
. - Altura do copo:
. - Área da seção transversal do copo:
. - Aceleração da gravidade:
. - Densidade da água:
.
O enunciado pede:
(a) o valor da constante elástica da mola;
(b) a intensidade da força que “traciona” (puxa para baixo) o copo no instante em que a água começa a entrar no copo;
(c) o valor da altura do nível da água no momento em que a água começa a entrar no copo.
(a) o valor da constante elástica
(b) a intensidade da força que “traciona” (puxa para baixo) o copo no instante em que a água começa a entrar no copo;
(c) o valor da altura
Passo 2
Entender a situação inicial e como encontrar
.
Quando o copo está vazio e apoiado sobre a mola na posição
, o sistema está em equilíbrio vertical. As únicas forças verticais sobre o copo são o peso
(para baixo) e a força da mola sobre o copo (para cima, pois a mola está comprimida). Pela segunda lei (equilíbrio), as forças se equilibram:
Para uma mola que foi comprimida em
vale a Lei de Hooke (módulo da força elástica):
Aqui
é a constante elástica que queremos,
é o comprimento natural da mola e
é o comprimento sob carga.
Passo 3
Aplicar a fórmula para achar
.
Calculo a compressão:
Peso do copo:
Igualando:
Explicação curta da fórmula usada: a Lei de Hooke diz que a força elástica é proporcional à deformação; a constante
mede “o quanto a mola é dura” (unidade
).
Passo 4
Entender o que acontece quando a água sobe e antes de entrar no copo: força de empuxo.
Enquanto a água ainda não entrou no copo (nível externo abaixo da borda), a água exerce um empuxo sobre o copo igual ao peso do fluido deslocado (Princípio de Arquimedes). Se a altura do nível externo acima da base do copo for
(submersão do copo), o volume de água deslocado é
. Então o empuxo vale:
No instante em que a água começa a ENTRAR no copo, o nível externo acabou de atingir a borda do copo, então a altura de submersão do copo é exatamente
. Logo, no instante crítico:
Aqui
é a força de empuxo (para cima),
é a densidade da água,
a gravidade,
a área da seção do copo e
a altura do copo.
Passo 5
Calcular numericamente o empuxo no instante em que a água começa a entrar.
Substituindo os valores:
Faço em etapas:
(volume deslocado quando o copo estiver totalmente submerso lateralmente até a borda), e
Passo 6
Equilíbrio de forças no instante crítico e interpretação da direção da força da mola.
No instante em que a água começa a entrar, há três forças verticais atuando no copo:
- empuxo
para cima, - peso
para baixo, - força da mola sobre o copo, que pode estar empurrando para cima (se a mola estiver comprimida) ou puxando para baixo (se a mola estiver esticada). Vamos determinar seu valor e sentido pela equação de equilíbrio (soma das forças = 0).
Escolhendo para cima positivo, a soma das forças é:
onde
é a componente da força da mola com sinal positivo quando empurra para cima. Reescrevendo:
Substituindo números:
O sinal negativo significa que a força da mola tem sentido para baixo (a mola está tracionando o copo), e a intensidade dessa tração é
. Este é o valor pedido no item (b): a mola está em tensão e puxa o copo para baixo com
.
Comentário físico: como o empuxo é maior que o peso do copo, o copo tenderia a subir; para manter equilíbrio o fio (aqui a mola) precisa puxar para baixo. No nosso caso a mola passou de comprimida para esticada.
Passo 7
Determinar a posição da mola (comprimento
) no instante crítico e então o nível
.
Quando a mola está esticada (comprimento
maior que
), a intensidade da força da mola (que puxa para baixo) é dada por
. Já sabemos a intensidade dessa força:
. Assim:
Usando
e
:
A borda do copo está na altura
acima do fundo da caixa, e a água começa a entrar quando o nível externo alcança essa borda; portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)