Considere os modelos não-estocásticos a seguir (isto é, modelos sem termo de erro estocástico). São modelos de regressão linear? Se não forem, é possível, por meio de manipulações algébricas adequadas, convertê-los em modelos lineares (como)?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
O enunciado dá o seguinte modelo (sem termo de erro estocástico):
As perguntas são:
- Isto é um modelo de regressão linear (no sentido usual: linear nos parâmetros)?
- Se não for, é possível, por manipulações algébricas, transformá‑lo em um modelo linear? Em caso afirmativo, como fica esse modelo linear?
Informações relevantes dadas:
- A equação explícita de
em função de e . - Não há termo de erro estocástico no enunciado (modelo determinístico).
- Implicitamente, para a transformação ser válida é necessário que os denominadores não sejam zero (ou seja,
e ).
Passo 2
O que significa ser um “modelo de regressão linear” (explicação didática e simples)?
- Um modelo de regressão é chamado linear quando a expressão é linear nas incógnitas parâmetros (nos
s). Isso quer dizer que cada parâmetro aparece apenas multiplicado por alguma função conhecida das variáveis observadas, e não aparece dentro de uma função não linear (como dentro de um denominador, exponencial, produto entre parâmetros, etc.). - Exemplos para fixar a ideia:
-
é linear nos parâmetros ( ). -
também é linear nos parâmetros (apesar de ter , que é não linear em , mas cada aparece de forma linear). -
não é linear nos parâmetros (porque está dentro de um exponencial). - Regra prática: se for possível escrever o modelo como soma de termos do tipo
(com conhecidas), então é linear nos parâmetros.
-
- Observação importante: “linear” refere‑se a linearidade nos parâmetros, não necessariamente em
.
Passo 3
Verificação direta: o modelo dado é linear nos parâmetros?
- O modelo original é
- Aqui os parâmetros
e aparecem no denominador, dentro de uma operação de reciprocidade. Isso NÃO é da forma soma de termos . Portanto, tal como está, o modelo NÃO é linear nos parâmetros. - Conclusão intermediária: o modelo não é um modelo de regressão linear na forma original.
Passo 4
Tentar transformar o modelo por manipulação algébrica simples (a “truque” da recíproca)
- Uma forma natural de tentar linearizar é tomar recíproco dos dois lados (desde que seja permitido, vejamos as condições).
- Tomando o recíproco de
obtemos desde que . Alternativamente podemos escrever - Definindo a variável transformada
o modelo escrito em fica - Essa expressão é claramente linear nos parâmetros
e : é da forma soma de (termo constante) e multiplicado por .
Passo 5
Condições e precauções sobre a transformação
- Para poder fazer
é necessário que para todos os considerados. - Equivalentemente, como
, é necessário que para todos os . - Se o modelo tivesse um termo de erro estocástico (por exemplo
), a transformação recíproca complicaria a estrutura do erro (o erro não ficaria aditivo e poderia gerar heterocedasticidade e vieses). Neste exercício, porém, o enunciado especifica modelos não‑estocásticos, então essa preocupação com a estrutura do erro não se aplica diretamente — mas é bom saber para provas reais: transformar variáveis muda a interpretação e a distribuição de erros. - Em resumo: a transformação é válida e produz um modelo linear, desde que as condições de não‑zero citadas sejam satisfeitas.
Passo 6
Como usar a forma linear resultante na prática (se fosse estimar)
- Depois da transformação
, o modelo fica - Se fosse necessário estimar
e por mínimos quadrados (OLS) com dados observados , primeiro calcularia (verificando ) e então faria a regressão linear simples de em . - As fórmulas usuais dos estimadores de mínimos quadrados são (com
observações):
onde
- Essas fórmulas dão estimativas dos parâmetros no modelo transformado; se desejar predizer
no original a partir de uma predição , converta de volta por , lembrando das possíveis implicações não lineares na variância e viés.
Passo 7
Resumo intuitivo e dica de prova (estilo amigo, motivador)
- Resumindo de forma prática: o modelo original NÃO é linear nos parâmetros por aparecerem no denominador. Porém, basta inverter
(fazer ) para obter um modelo linear simples em e . - Dica para prova: quando um parâmetro aparece dentro de uma função simples (recíproco, log, exponencial), tente aplicar a operação inversa (recíproca, log, etc.) para verificar se isso lineariza nos parâmetros. Sempre coteque se a operação é válida (não divide por zero, log de número positivo, etc.). Você vai se sair bem — respira e tenta passos pequenos!
Resposta
Não, não é linear nos parâmetros. Fazendo a transformação
(desde que
), o modelo fica linear: