Considere os modelos não-estocásticos a seguir (isto é, modelos sem termo de erro estocástico). São modelos de regressão linear? Se não forem, é possível, por meio de manipulações algébricas adequadas, convertê-los em modelos lineares (como)?
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo determinístico (sem termo de erro)
As perguntas que precisamos responder são:
- Isto é um modelo de regressão linear (no sentido usual: linear nos parâmetros)?
- Se não for, é possível, por manipulações algébricas, convertê‑lo em um modelo linear — e como?
Informações relevantes dadas:
- As incógnitas são
e . - Observáveis são
e (assume‑se que os dados foram medidos). - Há restrições óbvias do modelo: o denominador
não pode ser zero; também serão necessárias condições sobre e para certas transformações (ver passo adiante).
Passo 2
O que significa ser um modelo de regressão linear (explicação didática)?\n
Um modelo é dito linear em parâmetros quando pode ser escrito na forma
Um modelo é dito linear em parâmetros quando pode ser escrito na forma
onde os
são funções conhecidas (dependem só dos dados/explanatórias) e cada parâmetro
aparece apenas multiplicando essas funções (ou seja, aparece de forma linear — sem produtos, quocientes, exponenciais em relação aos
). Exemplo simples:
é linear em parâmetros porque
e
aparecem linearmente.
Passo 3
Verificação direta de linearidade do modelo dado (passo a passo):\n
O modelo original é
O modelo original é
Multiplicando ambos os lados pelo denominador obtemos
Expandindo,
Observe: os parâmetros
e
aparecem multiplicando termos, mas esses termos contêm
(a variável dependente). No formato padrão de regressão, os regressors (as funções multiplicando os
) devem ser funções conhecidas dos
(ou constantes), não da própria variável resposta
. Portanto, nesta forma a expressão não é um modelo de regressão linear no sentido usual (não é linear em parâmetros com regressors exógenos conhecidos). Conclusão intermediária: o modelo, como escrito, não está no formato de regressão linear padrão.
Passo 4
Tentativa útil de transformação algebraica (a boa ideia):\n
Tentar tomar o recíproco de ambos os lados (isso é uma manipulação algébrica simples e natural aqui). Supondo que e
e que
, temos
Tentar tomar o recíproco de ambos os lados (isso é uma manipulação algébrica simples e natural aqui). Supondo que
Agora separe os termos:
Esta igualdade é exatamente da forma linear em parâmetros se definirmos variáveis transformadas:
Com essas definições obtemos o modelo linear
ou seja, um regressão linear simples de
em
com intercepto
e coeficiente angular
.
Passo 5
Condições e interpretações (coisas importantes para a prova):\n
- A transformação é algebraicamente equivalente ao modelo original desde que não se violem condições de existência: é preciso que
para todos os (para definir ) e (para definir ). Além disso, a relação original exige para todos os (caso contrário estaria indefinido/infinito). Sempre declare essas hipóteses na prova. - Se o modelo original contivesse um termo de erro (por exemplo
), então a transformação não seria neutra: o erro se transformaria de forma não‑aditiva e a estrutura de ruído mudaria. Isso afeta métodos de estimação e inferência. No enunciado atual o modelo é não‑estocástico, então a transformação é uma equivalência exata (algebrica). - Alternativa enganosa: da equação
poderia-se pensar que é “linear” em porque aparece multiplicando termos; mas como esses termos envolvem (a variável resposta), isto não dá um modelo de regressão linear padrão com regressors observáveis e exógenos. Logo, a transformação por recíproco é a forma correta para obter um modelo linear com regressors conhecidos.
Passo 6
Como resolver para
- Se
(mínimo para identificar dois parâmetros) dá para resolver explicitamente: para ,
Subtraindo as equações:
Depois
e se houvesse erro estocástico, estimaria
por regressão linear (OLS) de
sobre
e intercepto; em caso puramente determinístico com mais de dois pontos, o sistema pode ser resolvido por mínimos quadrados exatos (ou verificado se todos se encaixam na mesma reta transformada).]
Passo 7
Resumo final do raciocínio e dica de prova:\n
- Diga claramente na resposta da prova que o modelo original, na forma dada, não está no formato de regressão linear padrão porque os termos multiplicando os parâmetros dependem de
. - Em seguida mostre a transformação recíproca e escreva explicitamente a forma linear resultante, listando as condições necessárias (
, , ). - Se for pedir estimação, note a mudança na estrutura do erro caso exista ruído — isto é importante para inferência.
Resposta
Não, não é um modelo de regressão linear na forma original. \
Sim: fazendo a transformação recíproca obtemos a forma linear
Sim: fazendo a transformação recíproca obtemos a forma linear
ou seja, com
e
temos
, válida desde que
,
e
.