Considere que 1 mol de \mathrm{CO}_{2} se encontra armazenado em um pistão, ocupando um volume de 0,315 \mathrm{~L} a uma temperatura de 203,15 \mathrm{~K}\left(\mathrm{~T}_{1}\right). O recipiente é então aquecido até 780,6 \mathrm{~K}\left(\mathrm{~T}_{2}\right), mantendo seu volume constante. Para \mathrm{T}_{1} e \mathrm{T}_{2}, encontre os respectivos valores de pressão, considerando (i) um gás ideal e (ii) usando a equação de van der Waals, admita que não ocorra nenhuma transformação de fase. Explique as diferenças encontradas.

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Quantidade de matéria: n=1 mol.
  • Volume constante ocupado: V=0,315\\ \mathrm{L}.
  • Temperaturas: \,T_1=203,15\\ \mathrm{K} e \,T_2=780,6\\ \mathrm{K}.
O que é pedido:
  • Para \,T_1 e \,T_2, calcular as pressões correspondentes:
    • (i) usando o gás ideal (lei dos gases ideais);
    • (ii) usando a equação de van der Waals (admitindo que não ocorre transformação de fase).
Informação adicional usada (valores padrão de tabela para \mathrm{CO}_2):
  • Constantes de van der Waals adotadas: \,a=3,592\\ \mathrm{L^{2}\,bar\,mol^{-2}} e \,b=0,04267\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
  • Constante universal dos gases no sistema \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}: \,R=0,08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 2

Cálculo das pressões pelo modelo do gás ideal. Explicação do conceito e da fórmula:
  • A lei dos gases ideais relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade assim:
pV = nRT.
Aqui:
  • p é a pressão (a encontrar),
  • V é o volume do gás,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases (no nosso caso usaremos R=0,08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • Despejando p:
p = \frac{nRT}{V}.
Cálculo numérico em detalhe para \,T_1:
  • Primeiro calcule o produto nRT:
nRT = 1\cdot 0,08314\cdot 203,15 = 16,889891\\ (\text{unidades: L·bar}).
  • Agora divida pelo volume V=0,315\\ \mathrm{L}:
p_{1,\text{ideal}} = \frac{16,889891}{0,315} = 53,65\\ \mathrm{bar}.
(Arredondamento: manterei depois 3 dígitos significativos.)
Cálculo numérico em detalhe para \,T_2:
  • Produto nRT:
nRT = 1\cdot 0,08314\cdot 780,6 = 64,899084\\ (\text{L·bar}).
  • Dividindo pelo volume:
p_{2,\text{ideal}} = \frac{64,899084}{0,315} = 206,03\\ \mathrm{bar}.
Resumo parcial (gás ideal):
  • \,p_{1,\text{ideal}} \approx 53,65\\ \mathrm{bar}.
  • \,p_{2,\text{ideal}} \approx 206,03\\ \mathrm{bar}.

Passo 3

Cálculo das pressões usando a equação de van der Waals. Aula rápida sobre a equação e os parâmetros:
  • A equação de van der Waals corrige o comportamento ideal incluindo duas correções físicas:
    • o termo b corrige o volume disponível (volume finito das moléculas): o volume efetivo onde as moléculas se movimentam é V-nb em vez de V;
    • o termo a corrige a pressão devido às forças de atração entre moléculas: adiciona-se um termo -a n^{2}/V^{2}.
  • A forma da equação é:
\left(p + a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)\,(V - n b) = n R T.
  • Isolando p (para n=1):
p = \frac{n R T}{V - n b} - a\frac{n^{2}}{V^{2}} \quad\Rightarrow\quad p = \frac{R T}{V - b} - \frac{a}{V^{2}}.
Aqui cada símbolo já foi definido antes; a e b são as constantes específicas para \mathrm{CO}_2 tomadas da tabela.
Cálculo numérico em detalhe para \,T_1:
  • Calcular V - b:
V - b = 0,315 - 0,04267 = 0,27233\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro termo \dfrac{R T_1}{V-b}:
\frac{R T_1}{V-b} = \frac{0,08314\cdot 203,15}{0,27233} = \frac{16,889891}{0,27233} = 62,033\\ \mathrm{bar}.
  • Segundo termo \dfrac{a}{V^{2}}:
\frac{a}{V^{2}} = \frac{3,592}{(0,315)^{2}} = \frac{3,592}{0,099225} = 36,197\\ \mathrm{bar}.
  • Subtraindo:
p_{1,\text{vdW}} = 62,033 - 36,197 = 25,836\\ \mathrm{bar}.
Cálculo numérico em detalhe para \,T_2:
  • V-b é o mesmo: 0,27233\\ \mathrm{L}.
  • Primeiro termo para T_2:
\frac{R T_2}{V-b} = \frac{0,08314\cdot 780,6}{0,27233} = \frac{64,899084}{0,27233} = 238,461\\ \mathrm{bar}.
  • Segundo termo \dfrac{a}{V^{2}} é o mesmo (depende só de V):
\frac{a}{V^{2}} = 36,197\\ \mathrm{bar}.
  • Subtraindo:
p_{2,\text{vdW}} = 238,461 - 36,197 = 202,264\\ \mathrm{bar}.
Resumo parcial (van der Waals):
  • \,p_{1,\text{vdW}} \approx 25,84\\ \mathrm{bar}.
  • \,p_{2,\text{vdW}} \approx 202,26\\ \mathrm{bar}.

Passo 4

Interpretação física das diferenças encontradas (aulas curtas e intuitivas):
  • Compare os dois modelos:
    • Para \,T_1: p_{1,\text{ideal}} \approx 53,65\\ \mathrm{bar} e p_{1,\text{vdW}} \approx 25,84\\ \mathrm{bar}. A correção de van der Waals reduz muito a pressão prevista.
    • Para \,T_2: p_{2,\text{ideal}} \approx 206,03\\ \mathrm{bar} e p_{2,\text{vdW}} \approx 202,26\\ \mathrm{bar}. A diferença é pequena.
  • Por que isso acontece?
    • A equação de van der Waals trouxe duas correções opostas:
      • A correção do volume efetivo ( V-b) tende a aumentar a pressão prevista (porque o denominador menor torna o termo \dfrac{RT}{V-b} maior que \dfrac{RT}{V}).
      • A correção das forças de atração ( -a/V^{2}) reduz a pressão porque as moléculas se atraem e “puxam” umas às outras diminuindo o impacto sobre as paredes.
    • No caso de \,T_1 (temperatura relativamente baixa), o termo de atração \dfrac{a}{V^{2}} é grande em relação ao termo térmico RT/(V-b), resultando numa pressão muito menor que a prevista pelo gás ideal. Além disso, \,T_1=203,15\\ \mathrm{K} é bem menor que a temperatura crítica do \mathrm{CO}_2 (a temperatura crítica é cerca de 304,13\\ \mathrm{K}), o que significa que, na realidade, a uma pressão tão alta o \mathrm{CO}_2 poderia se aproximar da condensação — por isso o comportamento real se afasta bastante do ideal. (O enunciado pede para assumir que não há mudança de fase; mesmo assim é importante ter esse aviso físico.)
    • No caso de \,T_2 (temperatura muito alta), a energia térmica domina: o termo RT/(V-b) é muito grande e o efeito atrativo \dfrac{a}{V^{2}} torna-se relativamente pequeno, então a pressão prevista por van der Waals fica bem próxima da do gás ideal. Em outras palavras, a alta temperatura “supera” as interações intermoleculares.
  • Em termos práticos para a prova:
    • Se o gás está em condições de baixa temperatura e/ou alta densidade (pequeno V por mol), use correções de van der Waals (ou outro modelo real) porque as diferenças podem ser grandes.
    • Se a temperatura for alta e o gás estiver diluído, o gás ideal costuma ser uma boa aproximação.

Passo 5

Dicas rápidas para resolver rápido na prova (passo a passo prático):
  1. Trabalhe com R na mesma unidade que quer a pressão (aqui usei \mathrm{L\cdot bar} para ficar direto em bar).
  2. Para gás ideal: calcule nRT e divida por V.
  3. Para van der Waals (com n=1): calcule V-b, faça \dfrac{RT}{V-b}, calcule \dfrac{a}{V^{2}} e subtraia. Mantenha pistas de arredondamento só no final.
  4. Verifique se a temperatura está abaixo da crítica — se sim, lembre-se de que pode haver condensação (o enunciado aqui já disse para assumir que não ocorre).

Resposta

\,p_{1,\text{ideal}} = 53,65\\ \mathrm{bar}
\,p_{1,\text{vdW}} = 25,84\\ \mathrm{bar}
\,p_{2,\text{ideal}} = 206,03\\ \mathrm{bar}
\,p_{2,\text{vdW}} = 202,26\\ \mathrm{bar}

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