Considere que 1 mol de
se encontra armazenado em um pistão, ocupando um volume de
a uma temperatura de
. O recipiente é então aquecido até
, mantendo seu volume constante. Para
e
, encontre os respectivos valores de pressão, considerando (i) um gás ideal e (ii) usando a equação de van der Waals, admita que não ocorra nenhuma transformação de fase. Explique as diferenças encontradas.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado fornece e o que pede.
Dados fornecidos:
- Quantidade de matéria:
mol. - Volume constante ocupado:
. - Temperaturas:
e .
O que é pedido:
- Para
e , calcular as pressões correspondentes: - (i) usando o gás ideal (lei dos gases ideais);
- (ii) usando a equação de van der Waals (admitindo que não ocorre transformação de fase).
Informação adicional usada (valores padrão de tabela para
):
- Constantes de van der Waals adotadas:
e . - Constante universal dos gases no sistema
: .
Passo 2
Cálculo das pressões pelo modelo do gás ideal. Explicação do conceito e da fórmula:
- A lei dos gases ideais relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade assim:
Aqui:
-
é a pressão (a encontrar), -
é o volume do gás, -
é o número de mols, -
é a constante dos gases (no nosso caso usaremos ), -
é a temperatura absoluta em kelvin. - Despejando
:
Cálculo numérico em detalhe para
:
- Primeiro calcule o produto
:
- Agora divida pelo volume
:
(Arredondamento: manterei depois 3 dígitos significativos.)
Cálculo numérico em detalhe para
:
- Produto
:
- Dividindo pelo volume:
Resumo parcial (gás ideal):
-
. -
.
Passo 3
Cálculo das pressões usando a equação de van der Waals. Aula rápida sobre a equação e os parâmetros:
- A equação de van der Waals corrige o comportamento ideal incluindo duas correções físicas:
- o termo
corrige o volume disponível (volume finito das moléculas): o volume efetivo onde as moléculas se movimentam é em vez de ; - o termo
corrige a pressão devido às forças de atração entre moléculas: adiciona-se um termo .
- o termo
- A forma da equação é:
- Isolando
(para ):
Aqui cada símbolo já foi definido antes;
e
são as constantes específicas para
tomadas da tabela.
Cálculo numérico em detalhe para
:
- Calcular
:
- Primeiro termo
:
- Segundo termo
:
- Subtraindo:
Cálculo numérico em detalhe para
:
-
é o mesmo: . - Primeiro termo para
:
- Segundo termo
é o mesmo (depende só de ):
- Subtraindo:
Resumo parcial (van der Waals):
-
. -
.
Passo 4
Interpretação física das diferenças encontradas (aulas curtas e intuitivas):
- Compare os dois modelos:
- Para
: e . A correção de van der Waals reduz muito a pressão prevista. - Para
: e . A diferença é pequena.
- Para
- Por que isso acontece?
- A equação de van der Waals trouxe duas correções opostas:
- A correção do volume efetivo (
) tende a aumentar a pressão prevista (porque o denominador menor torna o termo maior que ). - A correção das forças de atração (
) reduz a pressão porque as moléculas se atraem e “puxam” umas às outras diminuindo o impacto sobre as paredes.
- A correção do volume efetivo (
- No caso de
(temperatura relativamente baixa), o termo de atração é grande em relação ao termo térmico , resultando numa pressão muito menor que a prevista pelo gás ideal. Além disso, é bem menor que a temperatura crítica do (a temperatura crítica é cerca de ), o que significa que, na realidade, a uma pressão tão alta o poderia se aproximar da condensação — por isso o comportamento real se afasta bastante do ideal. (O enunciado pede para assumir que não há mudança de fase; mesmo assim é importante ter esse aviso físico.) - No caso de
(temperatura muito alta), a energia térmica domina: o termo é muito grande e o efeito atrativo torna-se relativamente pequeno, então a pressão prevista por van der Waals fica bem próxima da do gás ideal. Em outras palavras, a alta temperatura “supera” as interações intermoleculares.
- A equação de van der Waals trouxe duas correções opostas:
- Em termos práticos para a prova:
- Se o gás está em condições de baixa temperatura e/ou alta densidade (pequeno
por mol), use correções de van der Waals (ou outro modelo real) porque as diferenças podem ser grandes. - Se a temperatura for alta e o gás estiver diluído, o gás ideal costuma ser uma boa aproximação.
- Se o gás está em condições de baixa temperatura e/ou alta densidade (pequeno
Passo 5
Dicas rápidas para resolver rápido na prova (passo a passo prático):
- Trabalhe com
na mesma unidade que quer a pressão (aqui usei para ficar direto em bar). - Para gás ideal: calcule
e divida por . - Para van der Waals (com
): calcule , faça , calcule e subtraia. Mantenha pistas de arredondamento só no final. - Verifique se a temperatura está abaixo da crítica — se sim, lembre-se de que pode haver condensação (o enunciado aqui já disse para assumir que não ocorre).