Considere um monocristal com formato de um cubo com 1 cm de aresta de cobre. Respostas com três algarismos significativos.
Calcule o aumento percentual no volume causado pelas lacunas no exato momento em que se inicia a fusão do monocristal.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um monocristal de cobre que é um cubo com 1 cm de aresta. Queremos calcular o aumento percentual no volume desse cristal devido às lacunas (ou vacâncias) exatamente quando começa a fundir. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre a teoria das vacâncias em sólidos e como elas afetam o volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são vacâncias. Vacâncias são pontos na estrutura cristalina onde átomos estão faltando. Essas faltas criam lacunas que podem causar uma expansão no volume do cristal.

Passo 3

A concentração de vacâncias ( nv) em um cristal pode ser descrita pela fórmula:
nv = N exp(-QvkT)
Onde:
  • N é o número total de átomos no cristal,
  • Qv é a energia de formação da vacância,
  • k é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin.

Passo 4

No ponto de fusão, a temperatura Tm do cobre é aproximadamente 1357 , K. Vamos assumir que a energia de formação da vacância Qv para o cobre é cerca de 1,2 , eV, o que equivale a 1,93 times 10^-19 , J.

Passo 5

Primeiro, calculamos o número total de átomos no cristal. Sabemos que a densidade do cobre é aproximadamente 8,96 , g/cm^3 e sua massa molar é 63,55 , g/mol. O volume do cristal é 1 , cm^3, então a massa m é:
m = 8,96 , g
Número de moles:
n = mM = 8,9663,55 approx 0,141 , mol
Número de átomos ( N):
N = n times NA = 0,141 times 6,022 times 10^23 approx 8,49 times 10^22 , átomos á

Passo 6

Agora, calculamos a concentração de vacâncias:
nv = N exp(-QvkTm) = 8,49 times 10^22 exp(-1,93 times 10^-191,38 times 10^-23 times 1357)
Calculando o expoente:
1,93 times 10^-191,38 times 10^-23 times 1357 approx 10,16
Então:
nv = 8,49 times 10^22 times e^-10,16 approx 8,49 times 10^22 times 4,18 times 10^-5 approx 3,56 times 10^18 , vacâncias â

Passo 7

Para encontrar o aumento percentual no volume ( De), assumimos que cada vacância contribui para um aumento proporcional no volume. Assim:
De
Multiplicando por 100 para obter o percentual:
De

Resposta

O aumento percentual no volume é aproximadamente 4,19 times 10^-3%.

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