Considere um monocristal de um metal hipotético com estrutura cristalina CFC, orientado de modo que uma tensão de tração seja aplicada na direção [112]. Sabendo que o escorregamento ocorre no plano (111) e na direção [O11], e que o cristal escoa sob uma tensão de 5,12 \mathrm{MPa}, determine a tensão de cisalhamento resolvida crítica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • A tensão de tração aplicada na direção [112].
  • O escorregamento ocorre no plano (111) e na direção [O11].
    Observação: interpreto o símbolo O como zero e, para que a direção de escorregamento pertença ao plano (111), a direção plausível é [0\,1\,\overline{1}] (ou seja, [0,1,-1]). Vou usar [0\,1\,\overline{1}] como a direção de escorregamento. Se isso não for o que o enunciado quis, o resultado numérico muda; mas essa é a escolha consistente com um sistema de escorregamento típico em CFC.
  • O cristal escoa sob uma tensão uniaxial de tração \sigma = 5,12\\ \mathrm{MPa}.
    A pergunta pedida: determinar a tensão de cisalhamento resolvida crítica (CRSS), ou seja, a tensão de cisalhamento no sistema de escorregamento correspondente à \sigma aplicada.

Passo 2

Explicando a teoria que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Lei de Schmid: para uma tensão uniaxial \sigma aplicada numa direção unitária \mathbf{T}, a tensão de cisalhamento resolvida na direção de escorregamento \mathbf{s} dentro do plano de escorregamento com normal \mathbf{n} é
\tau = \sigma \, (\mathbf{s}\cdot\mathbf{T}) \, (\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}).
  • Aqui (\mathbf{s}\cdot\mathbf{T}) é o cosseno do ângulo entre a direção de escorregamento e o eixo de tração (vou chamar esse cosseno de \cos\varphi) e (\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}) é o cosseno do ângulo entre a normal do plano de escorregamento e o eixo de tração (vou chamar esse cosseno de \cos\lambda). Assim
\tau = \sigma \cos\varphi \cos\lambda.
  • Para usar produto escalar no sistema cristalográfico cúbico, representamos vetores direções por seus índices de Miller e normalizamos: se um vetor direcional tem componentes [h,k,l], seu vetor cartesiano proporcional é (h,k,l) e seu módulo é \sqrt{h^2+k^2+l^2}.
  • Observação sobre sinais: o produto escalar pode ser negativo (indica sentido oposto de cisalhamento); a CRSS normalmente interessa em módulo (valor absoluto necessário para ativar o escorregamento). Vou indicar o sinal e no final dar o valor absoluto, que é o que importa para a crítica ao escoamento.

Passo 3

Definir os vetores (em coordenadas cristalográficas cúbicas) e calcular seus módulos:
  • eixo de tração \mathbf{T} (proporcional a [1\,1\,2]):
\mathbf{T}\propto (1,1,2),\qquad |\mathbf{T}|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}.
  • direção de escorregamento \mathbf{s} (vou usar [0\,1\,\overline{1}]=[0,1,-1]):
\mathbf{s}\propto (0,1,-1),\qquad |\mathbf{s}|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
  • normal ao plano de escorregamento \mathbf{n} (para (111) usamos [1,1,1]):
\mathbf{n}\propto (1,1,1),\qquad |\mathbf{n}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.

Passo 4

Calcular os produtos escalares \mathbf{s}\cdot\mathbf{T} e \mathbf{n}\cdot\mathbf{T}:
\mathbf{s}\cdot\mathbf{T} = (0,1,-1)\cdot(1,1,2)=0\cdot1+1\cdot1+(-1)\cdot2 = 1-2 = -1,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{T} = (1,1,1)\cdot(1,1,2)=1\cdot1+1\cdot1+1\cdot2 = 4.

Passo 5

Calcular os cossenos \cos\varphi e \cos\lambda usando normalização:
\cos\varphi = \dfrac{\mathbf{s}\cdot\mathbf{T}}{|\mathbf{s}|\,|\mathbf{T}|} = \dfrac{-1}{\sqrt{2}\,\sqrt{6}} = -\dfrac{1}{\sqrt{12}} = -\dfrac{1}{2\sqrt{3}} \approx -0,288675.
\cos\lambda = \dfrac{\mathbf{n}\cdot\mathbf{T}}{|\mathbf{n}|\,|\mathbf{T}|} = \dfrac{4}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}} = \dfrac{4}{\sqrt{18}} = \dfrac{4}{3\sqrt{2}} \approx 0,942809.

Passo 6

Calcular o fator de Schmid m=\cos\varphi\cos\lambda e a tensão de cisalhamento resolvida \tau:
m = \cos\varphi\cos\lambda = \left(-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)\left(\dfrac{4}{3\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{4}{6\sqrt{6}} = -\dfrac{2}{3\sqrt{6}} \approx -0,2721655.
Agora a tensão aplicada é \sigma = 5,12\\ \mathrm{MPa}, então
\tau = \sigma\,m = 5{,}12\times\left(-0{,}2721655\right)\\ \mathrm{MPa} \approx -1{,}39\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Interpretação final e valor absoluto:
  • O sinal negativo indica que a direção do esforço de cisalhamento é oposta ao sentido do vetor \mathbf{s} escolhido; fisicamente interessa o módulo para saber se o sistema atinge a CRSS.
  • Portanto, a tensão de cisalhamento resolvida crítica (valor absoluto) é
|\tau| \approx 1{,}39\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

1{,}39\\ \mathrm{MPa}

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