Considere que um motor de 1200 \mathrm{C} . \mathrm{V} ., U_{A N}=600 \mathrm{~V}, \eta_{N}=0,87, n_{N}=1500 \mathrm{rpm} \mathrm{e} R_{A N}=0,007 \Omega originalmente aciona uma bomba centrífuga.
As bombas centrífugas possuem uma equação geral do tipo M_{c}=M_{o}+K \cdot n^{2}, sendo que na maioria dos casos os parâmetros " M_{o} " e " K^{\prime \prime} são desconhecidos. No entanto, é possível determiná-los através de medições no motor de corrente contínua. No contexto apresentado pergunta-se:
  • a) A medição de um ponto operacional qualquer indicou U_{A}=540 \mathrm{~V} e I_{A}=1546 \mathrm{~A}. Calcule, para este ponto, a potência elétrica absorvida, a potência mecânica, a velocidade e o conjugado. O fluxo é constante e igual ao nominal;
  • b) Sabendo-se que o motor desenvolve o torque nominal e velocidade nominal com tensão e fluxo nominais, calcule os parâmetros " M_{o} " e " K^{\prime \prime} em (pu) e em valores atuais;
  • c) Suponha que você enfraqueceu o campo para 0,85 do nominal \left(\varphi=0,85 \phi_{N}\right). O que ocorre com o motor? Mostre numericamente. (A tensão da armadura é a nominal);
  • d) Calcule um banco de resistência em série com a armadura para substituir o controle de tensão de tal forma que resulte nas mesmas condições estabelecidas no item “a”.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem assumir mais nada).
  • Dados nominais do motor:
    • Potência mecânica nominal: \,P_{mN}=1200\\ \mathrm{C.V.}.
    • Tensão de armadura nominal: \,U_{AN}=600\\ \mathrm{V}.
    • Eficiência nominal: \,\eta_{N}=0{,}87.
    • Velocidade nominal: \,n_{N}=1500\\ \mathrm{rpm}.
    • Resistência de armadura: \,R_{A N}=0{,}007\\ \Omega.
  • Conversão usada para potência: 1\\ \mathrm{C.V.}=735{,}5\\ \mathrm{W}. Portanto: P_{mN}=1200\cdot 735{,}5=882600\\ \mathrm{W}.
  • Informação sobre a bomba: torque de carga obedecendo M_{c}=M_{o}+K\cdot n^{2},com M_{o} e K desconhecidos; serão obtidos a partir de dois pontos operacionais.
  • Ponto de operação fornecido (item a): U_{A}=540\\ \mathrm{V},\qquad I_{A}=1546\\ \mathrm{A}.
  • Condição do item c: enfraquecimento do fluxo para \varphi=0{,}85\phi_{N} mantendo a tensão de armadura nominal U_{A}=600\\ \mathrm{V}.
  • O que é pedido:
    • (a) Para o ponto U_{A}=540\\ \mathrm{V}, I_{A}=1546\\ \mathrm{A}: calcular potência elétrica absorvida, potência mecânica (no eixo), velocidade e conjugado (torque). O fluxo é constante e igual ao nominal.
    • (b) Usando o ponto nominal (motor desenvolve torque nominal e velocidade nominal com tensão e fluxo nominais) e o ponto do item (a), determinar M_{o} e K tanto em valores reais quanto em pu.
    • (c) Com campo reduzido a 0{,}85\phi_{N} e tensão de armadura nominal, determinar o que ocorre numericamente (velocidade, corrente, torque, observações).
    • (d) Calcular a resistência em série com a armadura que, aplicada com alimentação 600\\ \mathrm{V}, produz as mesmas condições do item (a) (isto é, mesmo I_{A} e mesma velocidade/conjugado do item a).

Passo 2

Conceitos básicos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e aplicada).
  • Equação da armadura de um motor CC: U_{A}=E+R_{A}I_{A},
onde
  • U_{A} é a tensão aplicada na armadura (V),
  • E é a fem contraprojetada (back-EMF) (V),
  • R_{A} é a resistência da armadura ( \Omega),
  • I_{A} é a corrente de armadura (A).
  • Relação entre a fem, fluxo e velocidade: E=k\varphi\,\omega,
onde
  • k\varphi é a constante do motor proporcional ao fluxo (unidade: V·s/rad, que também vale N·m/A),
  • \omega é a velocidade angular (rad/s).
  • Torque eletromagnético (elétrico desenvolvido): M_{em}=k\varphi\,I_{A}.
Em SI k\varphi (a constante) é numericamente igual tanto para a equação do torque quanto para a da fem (isto é, k_e=k_t).
  • Potências:
    • Potência elétrica absorvida: P_{in}=U_{A}I_{A}.
    • Perdas ôhmicas (cobre): P_{cu}=I_{A}^{2}R_{A}.
    • Potência convertida no entreferro (potência desenvolvida): P_{dev}=E I_{A}=M_{em}\omega.
    • Potência mecânica no eixo (potência útil): P_{out}=P_{dev}-P_{rot},
    onde P_{rot} representa perdas mecânicas/ferro/ventilação que vamos estimar a partir dos dados nominais (porque não foram dadas explicitamente).
  • Conversão velocidade: \omega=\frac{2\pi n}{60}.
  • Para determinar k\varphi (constante), usamos o ponto nominal: k\varphi=\frac{E_{N}}{\omega_{N}}=\frac{U_{AN}-R_{A N}I_{AN}}{\omega_{N}},
onde I_{AN} é a corrente nominal obtida a partir da potência elétrica nominal: I_{AN}=P_{in,N}/U_{AN} e P_{in,N}=P_{mN}/\eta_{N}.
Explicação pedagógica curta: a ideia é usar o ponto nominal para descobrir a constante k\varphi e as perdas mecânicas estimadas; com isso podemos analisar qualquer outro ponto usando as fórmulas acima.

Passo 3

Cálculo dos parâmetros nominais necessários (corrente nominal, fem nominal, constante k\varphi e perdas rotacionais estimadas).
  1. Potência elétrica nominal de entrada:
P_{in,N}=\frac{P_{mN}}{\eta_{N}}=\frac{882600}{0{,}87}=1014483{,}9\\ \mathrm{W}.
  1. Corrente de armadura nominal:
I_{AN}=\frac{P_{in,N}}{U_{AN}}=\frac{1014483{,}9}{600}=1690{,}8065\\ \mathrm{A}.
  1. Fem nominal E_{N} (pela equação da armadura):
E_{N}=U_{AN}-R_{A N}I_{AN}=600-0{,}007\cdot 1690{,}8065=588{,}16435\\ \mathrm{V}.
  1. Velocidade angular nominal:
\omega_{N}=\frac{2\pi n_{N}}{60}=50\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 157{,}07963\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Constante k\varphi (nominal):
k\varphi=\frac{E_{N}}{\omega_{N}}=\frac{588{,}16435}{157{,}07963}\approx 3{,}74499\\ (\mathrm{V\cdot s/rad})\\ (\equiv \mathrm{N\cdot m/A}).
  1. Potência desenvolvida nominal:
P_{dev,N}=E_{N}I_{AN}=588{,}16435\cdot 1690{,}8065\approx 994472{,}0\\ \mathrm{W}.
  1. Estimativa das perdas rotacionais (assumimos constantes para análise):
P_{rot}=P_{dev,N}-P_{mN}=994472{,}0-882600=111872{,}0\\ \mathrm{W}.
Comentário: essa estimativa é razoável quando não temos as perdas rotacionais explicitamente; vamos usá-la como constante nos cálculos seguintes.

Passo 4

Resolução do item (a): cálculo em regime com U_{A}=540\\ \mathrm{V} e I_{A}=1546\\ \mathrm{A} (fluxo igual ao nominal).
  1. Potência elétrica absorvida:
P_{in}=U_{A}I_{A}=540\cdot 1546=834840\\ \mathrm{W}.
  1. Perdas ôhmicas (cobre):
P_{cu}=I_{A}^{2}R_{A}=1546^{2}\cdot 0{,}007=2390116\cdot 0{,}007=16730{,}81\\ \mathrm{W}.
  1. Fem contra-eletromotriz E:
E=U_{A}-R_{A}I_{A}=540-0{,}007\cdot 1546=540-10{,}822=529{,}178\\ \mathrm{V}.
  1. Potência desenvolvida (entreferro):
P_{dev}=E I_{A}=529{,}178\cdot 1546\approx 818109{,}2\\ \mathrm{W}.
(checa: P_{dev}=P_{in}-P_{cu}=834840-16730{,}81=818109{,}19, consistente).
5) Potência mecânica no eixo (subtraindo perdas rotacionais estimadas):
P_{out}=P_{dev}-P_{rot}=818109{,}2-111872{,}0=706237{,}2\\ \mathrm{W}.
  1. Velocidade: com fluxo constante, E\propto \omega, logo
n=n_{N}\cdot\frac{E}{E_{N}}=1500\cdot\frac{529{,}178}{588{,}16435}\approx 1349{,}16\\ \mathrm{rpm}.
(ou via \omega=E/(k\varphi) e converter para rpm).
7) Conjugado no eixo (torque de carga, que é o torque útil que a bomba recebe):
M_{eixo}=\frac{P_{out}}{\omega}=\frac{706237{,}2}{2\pi \cdot 1349{,}16/60}.
Calcule \omega:
\omega=\frac{2\pi n}{60}=\frac{2\pi\cdot 1349{,}16}{60}\approx 141{,}237\\ \mathrm{rad/s}.
Logo
M_{eixo}=\frac{706237{,}2}{141{,}237}\approx 5000{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação adicional (útil para entendimento): o torque eletromagnético M_{em}=k\varphi I_{A}=3{,}74499\cdot 1546\approx 5791{,}5\\ \mathrm{N\cdot m}. A diferença M_{em}-M_{eixo}\approx 5791{,}5-5000{,}9\approx 790{,}6\\ \mathrm{N\cdot m} corresponde ao torque necessário para vencer as perdas rotacionais, consistente com P_{rot}/\omega.

Passo 5

Resolução do item (b): encontrando M_{o}\) e \(K\) usando dois pontos (nominal e o ponto do item a). - Temos a lei da bomba em forma escalar: \[M_{c}=M_{o}+K n^{2}.
  • Em pu é conveniente usar base nas grandezas nominais: base de torque M_{base}=M_{N}=M_{eixo\_N} onde M_{eixo\_N}=\frac{P_{mN}}{\omega_{N}}=\frac{882600}{157{,}07963}\approx 5620{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Dois pontos conhecidos (pares n,M_{c}):
    1. ponto nominal: (n_{1},M_{1})=(1500\\ \mathrm{rpm},\\\ 5620{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}).
    2. ponto do item (a): (n_{2},M_{2})=(1349{,}16\\ \mathrm{rpm},\\\ 5000{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}).
  • Resolver o sistema linear para M_{o} e K: \begin{cases} 5620{,}0=M_{o}+K\cdot 1500^{2},\\[4pt] 5000{,}9=M_{o}+K\cdot 1349{,}16^{2}. \end{cases}
Subtraindo as equações:
K=\frac{5620{,}0-5000{,}9}{1500^{2}-1349{,}16^{2}}=\frac{619{,}1}{(1500-1349{,}16)(1500+1349{,}16)}.
Cálculo numérico:
1500^{2}-1349{,}16^{2}\approx 429767{,}8
K\approx \frac{619{,}1}{429767{,}8}\approx 0{,}0014405\\ \frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{rpm}^{2}}.
Agora M_{o}\]: \[M_{o}=5620{,}0-K\cdot 1500^{2}=5620{,}0-0{,}0014405\cdot 2250000\approx 2378{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.\] - Passando para pu (definindo \(n_{base}=1500\\ \mathrm{rpm}, M_{base}=5620{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}):
- M_{o,\\ pu}=\dfrac{M_{o}}{M_{base}}=\dfrac{2378{,}9}{5620{,}0}\approx 0{,}4234\\ \text{pu}.
- Para que a lei em pu fique \,M_{pu}=M_{o,pu}+K_{pu}\,n_{pu}^{2}, nota-se que, em n_{pu}=1, M_{pu}=1. Portanto K_{pu}=1-M_{o,pu}\approx 0{,}5766\\ \text{pu}.
- Checando consistência:
K_{pu}=\frac{K\cdot n_{base}^{2}}{M_{base}}=\frac{0{,}0014405\cdot 1500^{2}}{5620{,}0}\approx 0{,}5766.]

Passo 6

Resolução do item (c): enfraquecimento do campo para \varphi=0{,}85\phi_{N} mantendo U_{A}=600\\ \mathrm{V}. O que ocorre? (cálculo numérico da nova velocidade, corrente e torque).
  • Procedimento: em regime estacionário o torque eletromagnético do motor deve igualar o torque da bomba: M_{em}=k\varphi\,I_{A}=M_{c}=M_{o}+K n^{2}.E a equação da armadura: U_{A}=E+R_{A}I_{A}=k\varphi\,\omega+R_{A}I_{A}.Eliminando I_{A} usando I_{A}=M_{c}/(k\varphi) e substituindo \omega=2\pi n/60, obtemos uma equação em n: U_{A}=k\varphi\frac{2\pi n}{60}+ \frac{R_{A}}{k\varphi}\left(M_{o}+K n^{2}\right).Aqui k\varphi diminui para 0{,}85 do valor nominal.
  • Valores numéricos:
    • k\phi_{N}=3{,}74499 (obtido no Passo 3). Então k\phi_{new}=0{,}85\cdot 3{,}74499\approx 3{,}18324.
    • Substituindo os números na equação (todas as quantidades numéricas em SI): 600=3{,}18324\cdot\frac{2\pi n}{60}+ \frac{0{,}007}{3{,}18324}\left(2378{,}9+0{,}0014405\,n^{2}\right).
    • Simplificando numericam./coeficientes, obtemos uma quadrática em n: 0{,}0000031669\,n^{2}+0{,}3333524\,n-594{,}7704=0(coeficientes arredondados para facilitar cálculos, mantidos com precisão suficiente).
    • Solução positiva da quadrática: n\approx 1756{,}8\\ \mathrm{rpm}.
  • Agora calcular o torque e a corrente correspondentes:
    • Torque da bomba (no novo ponto): M_{c}=M_{o}+K n^{2}=2378{,}9+0{,}0014405\cdot 1756{,}8^{2}\approx 6828{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}.
    • Corrente de armadura: I_{A}=\frac{M_{c}}{k\phi_{new}}=\frac{6828{,}4}{3{,}18324}\approx 2145{,}5\\ \mathrm{A}.
    • Verificação da equação de armadura (voltage drop): E=k\phi_{new}\omega=3{,}18324\cdot\frac{2\pi\cdot 1756{,}8}{60}\approx 584{,}98\\ \mathrm{V},e U_{A}-R_{A}I_{A}=600-0{,}007\cdot 2145{,}5\approx 600-15{,}02=584{,}98\\ \mathrm{V}, consistente.
  • Consequências práticas (interpretando numericamente):
    • A velocidade aumentou de 1500 para \approx 1756{,}8\\ \mathrm{rpm}.
    • A corrente subiu de I_{AN}\approx 1690{,}8\\ \mathrm{A} (nominal) para I_{A}\approx 2145{,}5\\ \mathrm{A}: sobrecorrente significativa.
    • O torque e a potência aumentaram muito: M_{c}\approx 6828{,}4\\ \mathrm{N\cdot m} e a potência desenvolvida P_{dev}=M_{em}\omega\approx 1{,}255{,}1\\ \mathrm{MW} (muito maior que o nominal).
    • Conclusão qualitativa: enfraquecer o campo (field weakening) com mesma tensão faz o motor acelerar até que a maior demanda de torque pela bomba (porque M_{c}\propto n^{2}) seja suprida; para isso a corrente cresce bastante. Na prática isto frequentemente leva a sobrecorrente e aquecimento do enrolamento da armadura e pode exceder limites de projeto — portanto é perigoso sem limite de corrente. Em termos simples: velocidade e potência aumentam; corrente e perdas ôhmicas aumentam (risco de dano).

Passo 7

Resolução do item (d): calcular resistência série R_{s} que, com alimentação 600\\ \mathrm{V}, produz as mesmas condições do item (a) (ou seja, fazer com que, sob U_{supply}=600\\ \mathrm{V}, a armadura veja I_{A}=1546\\ \mathrm{A} e o mesmo E que no item a).
  • Desejamos que, com U_{supply}=600\\ \mathrm{V}, aconteça: U_{supply}=E+I_{A}(R_{A}+R_{s}).Já conhecemos E e I_{A} do item (a): E=529{,}178\\ \mathrm{V} e I_{A}=1546\\ \mathrm{A}.
  • Isolando R_{s}: R_{s}=\frac{U_{supply}-E}{I_{A}}-R_{A}=\frac{600-529{,}178}{1546}-0{,}007.
  • Cálculo numérico: \frac{600-529{,}178}{1546}=\frac{70{,}822}{1546}\approx 0{,}045809,portanto R_{s}\approx 0{,}045809-0{,}007=0{,}038809\\ \Omega\approx 0{,}0388\\ \Omega.
  • Comentário prático: essa resistência dissipa potência elevada P_{Rs}=I_{A}^{2}R_{s}\approx 1546^{2}\cdot 0{,}0388\approx 92741\\ \mathrm{W}. Ou seja, é uma solução ineficiente (muita perda térmica) mas é o valor que representa o “banco de resistências” necessário para obter as mesmas condições do item (a) com alimentação nominal 600\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) P_{in}=834840\\ \mathrm{W}
P_{out}=706237{,}2\\ \mathrm{W} (potência no eixo)
n\approx 1349{,}16\\ \mathrm{rpm}
M_{eixo}\approx 5000{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}
(b) M_{o}\approx 2378{,}9\\ \mathrm{N\cdot m} (valor atual)
K\approx 0{,}0014405\\ \mathrm{N\cdot m/rpm^{2}} (valor atual)
M_{o,\\ pu}\approx 0{,}4234\\ \text{pu}
K_{pu}\approx 0{,}5766\\ \text{pu} (onde n_{pu}=1 corresponde a 1500\\ \mathrm{rpm})
(c) Com \varphi=0{,}85\phi_{N} e U_{A}=600\\ \mathrm{V}:
n\approx 1756{,}8\\ \mathrm{rpm}
I_{A}\approx 2145{,}5\\ \mathrm{A}
M_{c}\approx 6828{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}
(Consequência prática: grande aumento de velocidade e de corrente — risco de sobrecorrente e aquecimento; potência e perdas aumentam muito.)
(d) Resistência em série necessária:
R_{s}\approx 0{,}0388\\ \Omega.

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