Um motor série de 10 \mathrm{HP}, 240 \mathrm{~V} possui corrente nominal de 38 A e velocidade nominal de 600 rpm . As resistências da armadura e do campo série são, respectivamente, 0,4 e 0,2 \Omega. Adote que o motor opera na porção linear4 da curva de saturação, quando a corrente da armadura é menor que a nominal. Desta forma, calcule:
a) a velocidade para uma corrente de armadura de 20 A e carga metade da nominal;
b) a velocidade com rotor livre, nesta condição, \mathrm{I}_{\mathrm{A}}=1 \mathrm{~A};
c) A velocidade para uma carga que absorve uma potência de 150 \% da nominal, com uma corrente 60 A e fluxo de 125% do nominal;
d) repita os itens anteriores considerando uma resistência de drenagem de 0,2 \Omega
e) compare os valores de velocidade desenvolvida com e sem resistor de drenagem, para as situações eixo livre, 50 \%, 100 \% da potência nominal.
Obs: O resistor de drenagem é um resistor que pode ser colocado em paralelo com o campo série para desviar uma parcela da corrente de armadura, exercendo-se assim uma espécie de controle da corrente de campo

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos no meio das contas.
  • Dados numéricos do motor (retirados do enunciado):
    • Potência nominal: 10\\ \mathrm{HP}.
    • Tensão da linha: 240\\ \mathrm{V}.
    • Corrente nominal da armadura: I_{A,n}=38\\ \mathrm{A}.
    • Velocidade nominal: n_n=600\\ \mathrm{rpm}.
    • Resistência da armadura: R_a=0,4\\ \Omega.
    • Resistência do campo série (quando não há dreno): R_f=0,2\\ \Omega.
  • Observações importantes do enunciado:
    • O motor opera na porção linear da curva de saturação quando I_A<I_{A,n}; isso permite assumir que o fluxo \varphi é proporcional à corrente do campo I_f (ou seja, \varphi\propto I_f).
    • O resistor de drenagem (quando inserido) fica em paralelo com o enrolamento de campo e desvia parte da corrente de campo. Chamaremos esse resistor de R_d (no item d) vale R_d=0{,}2\\ \Omega).
  • O que o enunciado pede (itens):
    • (a) velocidade quando I_A=20\\ \mathrm{A} e “carga metade da nominal” (vamos usar a condição fornecida I_A=20\\ \mathrm{A} para calcular a velocidade desse estado);
    • (b) velocidade com rotor livre, na condição I_A=1\\ \mathrm{A};
    • (c) velocidade para carga que absorve 150\% da potência nominal, com I_A=60\\ \mathrm{A} e fluxo 125\% do nominal;
    • (d) repetir (a)-(c) considerando um resistor de drenagem R_d=0{,}2\\ \Omega em paralelo com o campo;
    • (e) comparar as velocidades desenvolvidas com e sem resistor de drenagem para as situações eixo livre, 50\% e 100\% da potência nominal.
  • Lembrete de conversões úteis:
    • 1\\ \mathrm{HP}=746\\ \mathrm{W}. Então P_{n}=10\cdot 746=7460\\ \mathrm{W}.
A partir daqui começo a resolver e a explicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Modelo elétrico e relação entre tensão, força contra-eletromotriz e resistências.
  • Circuito série (sem dreno): a corrente da armadura I_A passa pela armadura R_a e pelo enrolamento de campo R_f. A tensão da linha V se divide em queda resistiva total I_A(R_a+R_f) mais a força contra-eletromotriz (f.c.e.) E (ou Back-EMF).
    V = E + I_A(R_a + R_f).
    Aqui:
    • V é a tensão de alimentação ( 240\\ \mathrm{V}),
    • E é a força contra-eletromotriz (proporcional ao produto fluxo × velocidade),
    • I_A(R_a+R_f) é a queda resistiva total.
  • Relação eletromecânica (região linear de fluxo): a f.c.e. é proporcional ao fluxo \varphi e à velocidade n:
    E = k_e\,\varphi\,n,
    onde k_e é constante de máquina (mesmas unidades para que o produto dê volts se n em rpm). Como estamos na região linear, \varphi é proporcional à corrente de campo I_f:
    \varphi = k_f I_f.
    Para um motor série sem dreno temos I_f=I_A. Portanto, podemos reunir as constantes e escrever, convenientemente para uso prático,
    E = K\,I_A\,n,
    onde K é uma constante que engloba k_e k_f e conversões de unidade (volts por ampère por rpm).
  • Como não conhecemos K diretamente, vamos obtê-lo a partir do ponto nominal fornecido. No ponto nominal:
    E_n = V - I_{A,n}(R_a+R_f).
    E então
    K = \frac{E_n}{I_{A,n}\,n_n}.
Vou calcular esses valores numéricos agora.

Passo 3

Cálculo da constante K a partir dos dados nominais.
  • Resistência total nominal sem dreno:
    R_{\text{tot}} = R_a + R_f = 0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6\\ \Omega.
  • Força contra-eletromotriz nominal:
    E_n = V - I_{A,n}R_{\text{tot}} = 240 - 38\cdot 0{,}6.
    Calcule:
    38\cdot 0{,}6 = 22{,}8\\ \mathrm{V}, \qquad E_n = 240 - 22{,}8 = 217{,}2\\ \mathrm{V}.
  • Constante K:
    K = \frac{E_n}{I_{A,n}\,n_n} = \frac{217{,}2}{38\cdot 600}.
    Calcule:
    38\cdot 600 = 22800, \qquad K = \frac{217{,}2}{22800} \approx 0{,}009526315789\\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{rpm}}.
Comentário amigável: agora temos uma fórmula prática para converter entre E, corrente e velocidade, lembrando que E também é dada pela equação de circuito. Com isso, para qualquer I_A e configuração elétrica (com ou sem dreno) podemos obter E e daí n.

Passo 4

Equações finais de uso (resumo operacional).
  • Sem dreno ( R_d\to\infty), I_f=I_A e resistência total R_{\text{tot}}=R_a+R_f. Então:
    E = V - I_A R_{\text{tot}}, \qquad n = \frac{E}{K I_A}.
  • Com dreno R_d em paralelo com R_f:
    • Resistência equivalente do ramo de campo: R_b = \frac{R_f R_d}{R_f + R_d}.
    • Resistência total no circuito série: R_{\text{tot}} = R_a + R_b.
    • A corrente que passa pelo campo I_f é fração de I_A dada pela divisão de corrente no paralelo (corrente na bobina R_f): I_f = I_A\cdot\frac{R_d}{R_f+R_d}.(isso vem de I_f = V_b/R_f e V_b = I_A R_b). Defino o fator m=\frac{I_f}{I_A}=\frac{R_d}{R_f+R_d}.
    • A f.c.e. então é E = K\,I_f\,n = K\,m\,I_A\,n. Assim n = \frac{E}{K\,m\,I_A}, \qquad \text{com }E = V - I_A R_{\text{tot}}.
Essas são as fórmulas que vou usar nos cálculos pedidos.

Passo 5

Item (a) sem dreno: velocidade para I_A=20\\ \mathrm{A} (usarei a equação direta).
  • Resistência total sem dreno: R_{\text{tot}}=0{,}6\\ \Omega.
  • Força contra-eletromotriz: E = V - I_A R_{\text{tot}} = 240 - 20\cdot 0{,}6 = 240 - 12 = 228\\ \mathrm{V}.
  • Velocidade: n = \frac{E}{K I_A} = \frac{228}{0{,}009526315789\cdot 20}.Calcule: K\cdot 20 = 0{,}19052631578,\qquad n \approx \frac{228}{0{,}19052631578}\approx 1196{,}9\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação rápida: com corrente menor que a nominal o fluxo cai e a máquina sobe bastante de velocidade (motor série pode dar overspeed sem carga).

Passo 6

Item (b) sem dreno: velocidade com rotor livre, condição I_A=1\\ \mathrm{A}.
  • R_{\text{tot}}=0{,}6\\ \Omega.
  • E = 240 - 1\cdot 0{,}6 = 239{,}4\\ \mathrm{V}.
  • Velocidade: n = \frac{239{,}4}{0{,}009526315789\cdot 1}\approx 239{,}4/0{,}009526315789\approx 25122\\ \mathrm{rpm}.
Comentário: esse valor alto mostra por que é perigoso deixar um motor série sem carga (ele acelera muito).

Passo 7

Item (c) sem dreno: condição dada I_A=60\\ \mathrm{A} e fluxo igual a 125\% do nominal.
  • Primeiro calcule E pela equação de circuito (sempre válida): R_{\text{tot}}=0{,}6\\ \Omega,\qquad E = 240 - 60\cdot 0{,}6 = 240 - 36 = 204\\ \mathrm{V}.
  • Como o enunciado fornece \varphi=1{,}25\phi_n, podemos usar a relação entre E, \varphi e n. Do ponto nominal temos E_n = k_e \phi_n n_n, então para a condição atual: E = k_e \varphi n = k_e (1{,}25\phi_n)n = 1{,}25\,(k_e\phi_n)\,n = 1{,}25\frac{E_n}{n_n} n.Isolando n: n = \frac{E\,n_n}{1{,}25\,E_n}.
  • Substituindo valores: n = \frac{204\cdot 600}{1{,}25\cdot 217{,}2} = \frac{122400}{271{,}5}\approx 450{,}6\\ \mathrm{rpm}.
Observação: aqui usamos a informação explícita do fluxo 125% do nominal (por exemplo, campo não linearmente relacionado à corrente por saturação ou por alguma condição especial); por isso não usamos a expressão n=E/(K I_A) direta, mas a forma que inclui o fator de aumento de fluxo.

Passo 8

Agora o item (d): repetir (a)-(c) com resistor de drenagem R_d=0{,}2\\ \Omega em paralelo com o campo.
Primeiro calculos gerais com R_d=0{,}2\\ \Omega e R_f=0{,}2\\ \Omega:
  • Resistência equivalente do ramo de campo: R_b = \frac{R_f R_d}{R_f+R_d} = \frac{0{,}2\cdot 0{,}2}{0{,}2+0{,}2} = \frac{0{,}04}{0{,}4} = 0{,}1\\ \Omega.
  • Resistência total série agora: R_{\text{tot}} = R_a + R_b = 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}5\\ \Omega.
  • Fator de fração de campo m: m = \frac{I_f}{I_A} = \frac{R_d}{R_f+R_d} = \frac{0{,}2}{0{,}4} = 0{,}5.Ou seja, apenas metade da corrente de armadura passa pelo enrolamento de campo.
Vou calcular (a)-(c) com esses valores.

Passo 9

(d-a) com dreno: I_A=20\\ \mathrm{A}.
  • E = V - I_A R_{\text{tot}} = 240 - 20\cdot 0{,}5 = 240 - 10 = 230\\ \mathrm{V}.
  • Como agora I_f = m I_A = 0{,}5\cdot 20 = 10\\ \mathrm{A}, a velocidade é: n = \frac{E}{K I_f} = \frac{230}{0{,}009526315789\cdot 10}.Calcule K\cdot 10 = 0{,}09526315789, então n \approx \frac{230}{0{,}09526315789}\approx 2414{,}8\\ \mathrm{rpm}.
Comentário: com metade do fluxo para mesma corrente de armadura, a velocidade sobe ainda mais.

Passo 10

(d-b) com dreno: I_A=1\\ \mathrm{A} (eixo livre).
  • E = 240 - 1\cdot 0{,}5 = 239{,}5\\ \mathrm{V}.
  • I_f = 0{,}5\cdot 1 = 0{,}5\\ \mathrm{A}.
  • Velocidade: n = \frac{239{,}5}{0{,}009526315789\cdot 0{,}5} = \frac{239{,}5}{0{,}0047631578945}\approx 50244\\ \mathrm{rpm}.
Advertência prática: colocar um dreno aumenta a velocidade sem carga — atenção redobrada!

Passo 11

(d-c) com dreno: I_A=60\\ \mathrm{A} e \varphi=125\%\phi_n.
  • E = 240 - 60\cdot 0{,}5 = 240 - 30 = 210\\ \mathrm{V}.
  • Como o enunciado diz \varphi=1{,}25\phi_n, repetimos o raciocínio do Passo 7: E = 1{,}25\frac{E_n}{n_n} n \quad\Rightarrow\quad n = \frac{E\,n_n}{1{,}25\,E_n}.
  • Substituindo: n = \frac{210\cdot 600}{1{,}25\cdot 217{,}2} = \frac{126000}{271{,}5}\approx 464{,}0\\ \mathrm{rpm}.
Comentário: nota-se que com dreno a queda de tensão resistiva muda e, mesmo com fluxo especificado, o n muda um pouco.

Passo 12

Item (e): comparar velocidades com e sem resistor de drenagem para as situações: eixo livre, 50\% da potência nominal e 100\% da potência nominal.
Para fazer comparação justa quando se fala em percentual de potência, o procedimento físico correto é:
  • Fixar a potência mecânica absorvida pela carga P_{\text{load}} (por exemplo 0{,}5P_n ou 1{,}0P_n).
  • Para cada configuração (sem dreno e com dreno) resolver a equação de potência e circuito para achar a corrente de armadura I_A que produz essa potência, porque P_{\text{mec}} = E I_A (desprezando perdas mecânicas extras).
  • A equação que relaciona P_{\text{load}} e I_A é: P_{\text{load}} = E I_A = (V - I_A R_{\text{tot}}) I_A = V I_A - R_{\text{tot}} I_A^2.Isto é uma quadrática em I_A que resolvemos e escolhemos a raiz fisicamente plausível (a menor positiva).
    Vou calcular para as três situações (eixo livre já temos valores de Passos 6 e 10). Depois faço 50\% e 100\%.

Passo 13

(e) — eixo livre (condição usada com I_A=1\\ \mathrm{A} conforme item (b)):
  • Sem dreno: já calculei (Passo 6) n \approx 25122\\ \mathrm{rpm}.
  • Com dreno: já calculei (Passo 10) n \approx 50244\\ \mathrm{rpm}.

Passo 14

(e) — 50\% da potência nominal: P_{50}=0{,}5P_n = 0{,}5\cdot 7460 = 3730\\ \mathrm{W}.
Resolver os dois casos:
  • Sem dreno ( R_{\text{tot}}=0{,}6\\ \Omega):
    Resolver 3730 = 240 I_A - 0{,}6 I_A^2.
    A quadrática 0{,}6 I_A^2 - 240 I_A + 3730 = 0 tem discriminante
    \Delta = 240^2 - 4\cdot 0{,}6\cdot 3730 = 57600 - 8952 = 48648.
    \sqrt{\Delta}\approx 220{,}56. Raiz fisicamente relevante:
    I_A = \frac{240 - 220{,}56}{2\cdot 0{,}6} = \frac{19{,}44}{1{,}2}\approx 16{,}20\\ \mathrm{A}.
    Então E = 240 - 16{,}20\cdot 0{,}6 = 240 - 9{,}72 = 230{,}28\\ \mathrm{V}.
    Velocidade:
    n = \frac{E}{K I_A} = \frac{230{,}28}{0{,}009526315789\cdot 16{,}20}\approx \frac{230{,}28}{0{,}1542631579}\approx 1493{,}6\\ \mathrm{rpm}.
  • Com dreno ( R_b=0{,}1\\ \Omega, R_{\text{tot}}=0{,}5\\ \Omega, m=0{,}5):
    Resolver 3730 = 240 I_A - 0{,}5 I_A^2.
    Quadrática 0{,}5 I_A^2 - 240 I_A + 3730 = 0.
    \Delta = 240^2 - 4\cdot 0{,}5\cdot 3730 = 57600 - 7460 = 50140.
    \sqrt{\Delta}\approx 223{,}95. Raiz:
    I_A = \frac{240 - 223{,}95}{2\cdot 0{,}5} = \frac{16{,}05}{1{,}0} \approx 16{,}05\\ \mathrm{A}.
    E = 240 - 16{,}05\cdot 0{,}5 = 240 - 8{,}025 = 231{,}975\\ \mathrm{V}.
    Agora I_f = m I_A = 0{,}5\cdot 16{,}05 = 8{,}025\\ \mathrm{A}.
    Velocidade:
    n = \frac{E}{K I_f} = \frac{231{,}975}{0{,}009526315789\cdot 8{,}025}\approx \frac{231{,}975}{0{,}07613157895}\approx 3047{,}2\\ \mathrm{rpm}.
Observação: com dreno, para produzir a mesma potência a corrente de armadura fica praticamente a mesma, mas o campo efetivo cai (metade), o que faz a máquina girar muito mais rápido.

Passo 15

(e) — 100\% da potência nominal: P_{100}=P_n=7460\\ \mathrm{W}.
  • Sem dreno ( R_{\text{tot}}=0{,}6\\ \Omega):
    Resolver 7460 = 240 I_A - 0{,}6 I_A^2.
    Quadrática 0{,}6 I_A^2 - 240 I_A + 7460 = 0.
    \Delta = 57600 - 4\cdot 0{,}6\cdot 7460 = 57600 - 17904 = 39696, \qquad \sqrt{\Delta}\approx 199{,}24.
    Raiz física:
    I_A = \frac{240 - 199{,}24}{1{,}2} = \frac{40{,}76}{1{,}2}\approx 33{,}97\\ \mathrm{A}.
    E = 240 - 33{,}97\cdot 0{,}6 = 240 - 20{,}382 = 219{,}618\\ \mathrm{V}.
    Velocidade:
    n = \frac{E}{K I_A} = \frac{219{,}618}{0{,}009526315789\cdot 33{,}97}\approx \frac{219{,}618}{0{,}3238}\approx 678{,}3\\ \mathrm{rpm}.
  • Com dreno ( R_{\text{tot}}=0{,}5\\ \Omega, m=0{,}5):
    Resolver 7460 = 240 I_A - 0{,}5 I_A^2.
    Quadrática 0{,}5 I_A^2 - 240 I_A + 7460 = 0.
    \Delta = 57600 - 4\cdot 0{,}5\cdot 7460 = 57600 - 14920 = 42680, \qquad \sqrt{\Delta}\approx 206{,}60.
    Raiz:
    I_A = \frac{240 - 206{,}60}{1{,}0} = 33{,}40\\ \mathrm{A}.
    E = 240 - 33{,}40\cdot 0{,}5 = 240 - 16{,}70 = 223{,}30\\ \mathrm{V}.
    I_f = m I_A = 0{,}5\cdot 33{,}40 = 16{,}70\\ \mathrm{A}.
    Velocidade:
    n = \frac{E}{K I_f} = \frac{223{,}30}{0{,}009526315789\cdot 16{,}70}\approx \frac{223{,}30}{0{,}1591}\approx 1403{,}5\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação: sem dreno a máquina corre perto do seu ponto nominal (aqui achamos 678\\ \mathrm{rpm} com nossos modelos simples), com dreno a velocidade é bem maior para a mesma potência pois o fluxo é reduzido fortemente.

Resposta

(a) Sem dreno, I_A=20\\ \mathrm{A}\Rightarrow n\approx 1196{,}9\\ \mathrm{rpm}.
(b) Sem dreno, eixo livre I_A=1\\ \mathrm{A}\Rightarrow n\approx 25122\\ \mathrm{rpm}.
(c) Sem dreno, I_A=60\\ \mathrm{A} e \varphi=125\%\Rightarrow n\approx 450{,}6\\ \mathrm{rpm}.
(d-a) Com dreno R_d=0{,}2\\ \Omega, I_A=20\\ \mathrm{A}\Rightarrow n\approx 2414{,}8\\ \mathrm{rpm}.
(d-b) Com dreno, eixo livre I_A=1\\ \mathrm{A}\Rightarrow n\approx 50244\\ \mathrm{rpm}.
(d-c) Com dreno, I_A=60\\ \mathrm{A} e \varphi=125\%\Rightarrow n\approx 464{,}0\\ \mathrm{rpm}.
(e) Comparação (sem dreno / com dreno): eixo livre \Rightarrow 25122\\ \mathrm{rpm}\\ /\\\ 50244\\ \mathrm{rpm}.
(e) Comparação para 50\%\\ P_n \Rightarrow 1493{,}6\\ \mathrm{rpm}\\ /\\\ 3047{,}2\\ \mathrm{rpm}.
(e) Comparação para 100\%\\ P_n \Rightarrow 678{,}3\\ \mathrm{rpm}\\ /\\\ 1403{,}5\\ \mathrm{rpm}.

Exercícios relacionados