Considere um motor de corrente contínua, excitação série, com os seguintes dados nominais: \mathrm{P}_{\mathrm{N}}=15 \mathrm{C} . \mathrm{V}., \mathrm{U}_{\mathrm{AN}}=220 \mathrm{~V}, \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}=0,4 \Omega, (incluindo a resistência do campo série), \mathrm{I}_{\mathrm{AN}} =554 \mathrm{~A}, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=500 \mathrm{rpm}. Supondo-se que a curva de saturação do motor seja linear para correntes iguais ou inferiores a nominal, pede-se:
a) o torque e a velocidade desenvolvidos pelo motor quando a corrente é de 10,25,40,55, 68 e 75 A;
b) o torque para 1325 \% da carga nominal, se o aumento na corrente de armadura causa um acréscimo de 60% no fluxo do campo série;
c) mostre, graficamente, o comportamento do torque, velocidade e potência em função da corrente de armadura, considerando-se os resultados obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado dá (peguei todos estes valores do enunciado) e explicitar uma pequena suposição necessária para que os números façam sentido:
  • Potência nominal: P_{N}=15\\ \text{C.V.}.
    Vou converter para watts usando 1\\ \text{C.V.}=735{,}5\\ \mathrm{W}, logo P_{N}=15\cdot735{,}5=11032{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Tensão de alimentação: U_{AN}=220\\ \mathrm{V}.
  • Resistência (armadura + campo série): R_{AN}=0{,}4\\ \Omega (valor fornecido).
  • Corrente nominal: I_{AN}=554\\ \mathrm{A}.
  • Velocidade nominal: n_{N}=500\\ \mathrm{rpm}.
O enunciado pede:
a) o torque e a velocidade do motor para as correntes I_a=10,\;25,\;40,\;55,\;68,\;75\\ \mathrm{A};
b) o torque para 1325\% da carga nominal dado que o aumento na corrente de armadura provoca um acréscimo de 60\% no fluxo do campo série;
c) apresentar graficamente (vou fornecer os pontos e descrever como traçar) o comportamento de torque, velocidade e potência em função da corrente de armadura.
Observação importante (suposição necessária): com os números exatamente como estão, se eu usar R_{AN}=0{,}4\\ \Omega a queda de tensão I_{AN}R_{AN}=554\cdot0{,}4=221{,}6\\ \mathrm{V} excede a tensão U_{AN}=220\\ \mathrm{V}, o que tornaria a equação do equilíbrio impossível (produziria tensão indutiva negativa). Isso é fisicamente contraditório. Portanto vou assumir que houve um erro de escrita decimal no enunciado e que o valor correto da resistência é
R_{AN}=0{,}04\\ \Omega,
valor esse compatível com máquinas de corrente alta em 220 V. Além disso, vou interpretar o pedido do item (b) como 132{,}5\% da carga nominal (ou seja, fator 1{,}325), porque 1325\% (fator 13,25) seria extraordinariamente grande e pouco plausível no contexto do enunciado. Se essas interpretações estiverem diferentes do que o professor queria, avise depois — aqui estou escolhendo a interpretação que torna o exercício consistente.

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  1. Relação torque — corrente e fluxo:
  • Em um motor série de corrente contínua, o fluxo do campo \Phi é proporcional à corrente de armadura I_a enquanto a saturação for desprezível. O enunciado diz que a curva de saturação é linear até a nominal, então podemos assumir \Phi = c\;I_apara I_a\le I_{AN}, onde c é uma constante de proporcionalidade (depende da máquina).
  • O torque eletromagnético é dado por T = k_t\,\Phi\,I_a,onde k_t é a constante de máquina (combina fatores geométricos).
  • Substituindo \Phi obtemos, para correntes até a nominal, T = k_t\,c\,I_a^2.Isso significa: torque cresce com o quadrado da corrente quando \Phi\propto I_a. Para simplificar definimos K := k_t\,c,de modo que T = K\,I_a^2.Nossa tarefa é achar K a partir das condições nominais.
  1. Equação de tensão (equilíbrio elétrico):
  • A tensão aplicada é consumida pela força contra-eletromotriz (f.c.e.) E e pela queda ôhmica total I_a R_{AN}: U = E + I_a R_{AN}.
  • A f.c.e. é proporcional ao fluxo e à velocidade angular \omega: E = k_e\,\Phi\,\omega.Com \Phi = c I_a e k_e = k_t (coincidem em unidades SI para constantes de máquina), podemos escrever E = K\,I_a\,\omega,onde o mesmo K aparece (mesma constante vista acima, unidades compatíveis).
  • Assim U = K\,I_a\,\omega + I_a R_{AN}.Isolando \omega: \omega = \frac{U - I_a R_{AN}}{K I_a}.Como a velocidade prática costuma ser dada em rpm ( n), usamos \omega = \dfrac{2\pi n}{60}, então n = \frac{60}{2\pi}\,\frac{U - I_a R_{AN}}{K I_a}.
  1. Usar condições nominais para determinar K sem conhecê-lo diretamente:
  • Do item anterior, em regime nominal vale T_N = K I_{AN}^2.Mas T_N pode ser obtido da potência mecânica nominal P_N e da velocidade nominal: T_N = \frac{P_N}{\omega_N}=\frac{P_N}{2\pi n_N/60}=\frac{60 P_N}{2\pi n_N}.
  • Logo podemos calcular T_N (e daí K) a partir dos dados nominais.
Agora calculamos numericamente T_N e K.
  • Velocidade nominal em rad/s: \omega_N = \frac{2\pi n_N}{60} = \frac{2\pi\cdot500}{60}=52{,}3599\\ \mathrm{rad/s}.
  • Torque nominal: T_N=\frac{P_N}{\omega_N}=\frac{11032{,}5}{52{,}3599}\approx210{,}73\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Constante K: K=\frac{T_N}{I_{AN}^2}=\frac{210{,}73}{554^2}=\frac{210{,}73}{306916}\approx0{,}0006869\\ \frac{\mathrm{N\cdot m}}{\mathrm{A}^2}.
Esses valores são as bases para calcular torque e velocidade para outras correntes.

Passo 3

Cálculo do torque para as correntes indicadas usando T=K I_a^2. Vou mostrar a conta para cada corrente e arredondar razoavelmente.
  • Para I_a=10\\ \mathrm{A}: T=K\cdot10^2=0{,}0006869\cdot100\approx0{,}0687\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Para I_a=25\\ \mathrm{A}: T=0{,}0006869\cdot25^2=0{,}0006869\cdot625\approx0{,}4293\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Para I_a=40\\ \mathrm{A}: T=0{,}0006869\cdot40^2=0{,}0006869\cdot1600\approx1{,}0990\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Para I_a=55\\ \mathrm{A}: T=0{,}0006869\cdot55^2=0{,}0006869\cdot3025\approx2{,}0778\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Para I_a=68\\ \mathrm{A}: T=0{,}0006869\cdot68^2=0{,}0006869\cdot4624\approx3{,}1760\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Para I_a=75\\ \mathrm{A}: T=0{,}0006869\cdot75^2=0{,}0006869\cdot5625\approx3{,}8640\\ \mathrm{N\cdot m}.
(Observação didática: repare como o torque é muito pequeno para correntes muito menores que a nominal — por isso motores série podem girar muito rápido em vazio.)

Passo 4

Cálculo das velocidades para as mesmas correntes usando a relação derivada em Passo 2. Para evitar calcular K novamente, podemos usar uma forma relativa com respeito à condição nominal: dividir a expressão de \omega em regime por sua versão nominal e passar para n. Isso dá uma fórmula prática:
n = n_N\;\frac{U - I_a R_{AN}}{U - I_{AN}R_{AN}}\;\frac{I_{AN}}{I_a}.
Essa fórmula foi obtida dividindo
\;n = \dfrac{60}{2\pi}\dfrac{U - I_a R}{K I_a}
pela expressão nominal e cancelando K. Agora aplicamos numericamente com R_{AN}=0{,}04\\ \Omega e U=220\\ \mathrm{V}. Primeiro calculemos o denominador fixo:
U - I_{AN}R_{AN} = 220 - 554\cdot0{,}04 = 220 - 22{,}16 = 197{,}84\\ \mathrm{V}.
Agora cada caso:
  • I_a=10\\ \mathrm{A}: n = 500\cdot\frac{220-10\cdot0{,}04}{197{,}84}\cdot\frac{554}{10} =500\cdot\frac{219{,}6}{197{,}84}\cdot55{,}4\approx30\,747\\ \mathrm{rpm}.
  • I_a=25\\ \mathrm{A}: n \approx 500\cdot\frac{219}{197{,}84}\cdot\frac{554}{25}\approx12\,263\\ \mathrm{rpm}.
  • I_a=40\\ \mathrm{A}: n \approx 500\cdot\frac{218{,}4}{197{,}84}\cdot\frac{554}{40}\approx7\,641\\ \mathrm{rpm}.
  • I_a=55\\ \mathrm{A}: n \approx 500\cdot\frac{217{,}8}{197{,}84}\cdot\frac{554}{55}\approx5\,544\\ \mathrm{rpm}.
  • I_a=68\\ \mathrm{A}: n \approx 500\cdot\frac{217{,}28}{197{,}84}\cdot\frac{554}{68}\approx4\,473\\ \mathrm{rpm}.
  • I_a=75\\ \mathrm{A}: n \approx 500\cdot\frac{217}{197{,}84}\cdot\frac{554}{75}\approx4\,052\\ \mathrm{rpm}.
(Comentário didático: as velocidades ficam muito altas para correntes muito baixas — é a famosa característica perigosa de um motor série sem carga.)

Passo 5

Cálculo das potências mecânicas correspondentes (para usar nos gráficos do item c). A potência mecânica é P=T\omega com \omega=\dfrac{2\pi n}{60}. Vou calcular aproximado usando os n obtidos:
Usei a relação prática P = 2\pi \dfrac{n}{60}\,T. Valores aproximados:
  • Para I_a=10\\ \mathrm{A}: T\approx0{,}0687\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx30747\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx221\\ \mathrm{W}.
  • Para I_a=25\\ \mathrm{A}: T\approx0{,}4293\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx12263\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx551\\ \mathrm{W}.
  • Para I_a=40\\ \mathrm{A}: T\approx1{,}0990\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx7641\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx879\\ \mathrm{W}.
  • Para I_a=55\\ \mathrm{A}: T\approx2{,}0778\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx5544\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx1205\\ \mathrm{W}.
  • Para I_a=68\\ \mathrm{A}: T\approx3{,}1760\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx4473\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx1488\\ \mathrm{W}.
  • Para I_a=75\\ \mathrm{A}: T\approx3{,}8640\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx4052\\ \mathrm{rpm} \Rightarrow P\approx1639\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Item (b): torque para 132{,}5\% da carga nominal com incremento de fluxo de 60\%.
Interpretação e raciocínio:
  • 132{,}5\% da carga nominal” (minha interpretação) significa corrente I = 1{,}325\,I_{AN}.
  • O enunciado diz que, nesse aumento, o fluxo do campo cresce 60\%, ou seja \Phi = 1{,}6\,\Phi_N.
  • Em geral T = k_t\,\Phi\,I. Tomando a razão com o ponto nominal T_N = k_t\,\Phi_N\,I_{AN}, \frac{T}{T_N}=\frac{k_t\,(1{,}6\Phi_N)\,(1{,}325 I_{AN})}{k_t\,\Phi_N\,I_{AN}}=1{,}6\cdot1{,}325=2{,}12.
  • Portanto T = 2{,}12\;T_N.
  • Numericamente, T = 2{,}12\cdot210{,}73\approx446{,}61\\ \mathrm{N\cdot m}.
Observação: este resultado usa a nova (não linear) relação \Phi = 1{,}6\Phi_N que foi dada explicitamente para a situação de sobrecorrente. Está coerente com a fórmula T=k_t\Phi I.

Passo 7

Item (c): como mostrar graficamente (orientações e pontos):
  • Variáveis a traçar: em função de I_a (eixo horizontal), traçar:
    • Torque T(I_a)=K I_a^2 (curva quadrática até I_{AN}). Pontos calculados no Passo 3 servem para plotagem.
    • Velocidade n(I_a)=n_N\frac{U - I_a R_{AN}}{U - I_{AN}R_{AN}}\frac{I_{AN}}{I_a} (curva que cresce muito quando I_a\to0 e passa por n_{N} em I_a=I_{AN}). Pontos calculados no Passo 4 servem para plotagem.
    • Potência mecânica P(I_a)=2\pi\frac{n(I_a)}{60}\,T(I_a) (produto das duas curvas anteriores).
  • Pontos para plotar (resumo numérico para usar no gráfico; usar eixos com escala logarítmica ou escala linear cuidando do grande range de velocidades):
    • Para I_a=10\\ \mathrm{A}: T\approx0{,}0687\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx30\,747\\ \mathrm{rpm}, P\approx221\\ \mathrm{W}.
    • Para I_a=25\\ \mathrm{A}: T\approx0{,}4293\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx12\,263\\ \mathrm{rpm}, P\approx551\\ \mathrm{W}.
    • Para I_a=40\\ \mathrm{A}: T\approx1{,}0990\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx7\,641\\ \mathrm{rpm}, P\approx879\\ \mathrm{W}.
    • Para I_a=55\\ \mathrm{A}: T\approx2{,}0778\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx5\,544\\ \mathrm{rpm}, P\approx1{,}205\\ \mathrm{kW}.
    • Para I_a=68\\ \mathrm{A}: T\approx3{,}1760\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx4\,473\\ \mathrm{rpm}, P\approx1{,}488\\ \mathrm{kW}.
    • Para I_a=75\\ \mathrm{A}: T\approx3{,}8640\\ \mathrm{N\cdot m}, n\approx4\,052\\ \mathrm{rpm}, P\approx1{,}639\\ \mathrm{kW}.
    • Ponto nominal (checa): I_a=554\\ \mathrm{A}: T_N\approx210{,}73\\ \mathrm{N\cdot m}, n_N=500\\ \mathrm{rpm}, P_N=11{,}032{,}5\\ \mathrm{W}.
  • Como traçar:
    • No Excel/Matplotlib: criar um vetor de I_a de, por exemplo, 1 a I_{AN} (ou até 1{,}5I_{AN} se quiser incluir sobrecorrente) e calcular T(I_a), n(I_a), P(I_a) pelas fórmulas dadas; então plotar T e P no eixo y (talvez em eixos separados se escalas muito diferentes) e n em outro gráfico ou com eixo y secundário.
    • Interpretação dos gráficos:
      • T(I_a) será uma parábola (crescimento quadrático) até I_{AN} se mantida linearidade do fluxo.
      • n(I_a) diminui quando I_a aumenta (alto \,n para corrente muito baixa — perigo de perigo de sobrevelocidade em vazio), tendendo para n_N em I_{AN}.
      • P(I_a) (produto) tem um máximo intermediário dependendo do formato das curvas; com os pontos dados dá uma ideia do crescimento de potência com I_a até próximo do nominal.

Resposta

a) Para as correntes dadas (assumindo R_{AN}=0{,}04\\ \Omega):
I_a=10\\ \mathrm{A}:\\ T\approx0{,}0687\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx30\,747\\ \mathrm{rpm}.
I_a=25\\ \mathrm{A}:\\ T\approx0{,}4293\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx12\,263\\ \mathrm{rpm}.
I_a=40\\ \mathrm{A}:\\ T\approx1{,}0990\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx7\,641\\ \mathrm{rpm}.
I_a=55\\ \mathrm{A}:\\ T\approx2{,}0778\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx5\,544\\ \mathrm{rpm}.
I_a=68\\ \mathrm{A}:\\ T\approx3{,}1760\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx4\,473\\ \mathrm{rpm}.
I_a=75\\ \mathrm{A}:\\ T\approx3{,}8640\\ \mathrm{N\cdot m},\quad n\approx4\,052\\ \mathrm{rpm}.
b) Para 132{,}5\% da carga nominal (isto é I=1{,}325\,I_{AN}) com fluxo aumentado em 60\%:
T = 2{,}12\;T_N \approx 2{,}12\cdot210{,}73 \approx 446{,}61\\ \mathrm{N\cdot m}.

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