Considere um movimento oscilatório amortecido com os seguintes dados: \zeta=0,1 \mathrm{e} \omega_{n}=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Determinar:
a) Frequência natural, em Hz
b) Período natural, em s .
c) Frequência angular natural amortecida, em rad/s;
d) Frequência natural amortecida, em Hz
e) Período natural amortecido, em s.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de segunda ordem amortecido, caracterizado pela razão de amortecimento \zeta e pela frequência natural não amortecida \omega_{n}. Para resolver, vamos usar as fórmulas:
f_{n} = \frac{\omega_{n}}{2\pi},\quad T_{n} = \frac{1}{f_{n}} = \frac{2\pi}{\omega_{n}},
\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}},\quad f_{d} = \frac{\omega_{d}}{2\pi},\quad T_{d} = \frac{1}{f_{d}}.

Passo 2

Calculando a frequência natural em hertz e o período natural:
f_{n} = \frac{\omega_{n}}{2\pi} = \frac{5}{2\pi}\approx0,7958\\ \text{Hz},
T_{n} = \frac{2\pi}{\omega_{n}} = \frac{2\pi}{5}\approx1,2566\\ \text{s}.

Passo 3

Calculando a frequência angular amortecida usando \omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}:
\omega_{d} = 5\sqrt{1-0,1^{2}} = 5\sqrt{0,99}\approx5\cdot0,99499\approx4,9749\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora obtemos a frequência amortecida em hertz e o respectivo período:
f_{d} = \frac{\omega_{d}}{2\pi} = \frac{4,9749}{2\pi}\approx0,7923\\ \text{Hz},
T_{d} = \frac{1}{f_{d}} \approx\frac{1}{0,7923}\approx1,2617\\ \text{s}.

Resposta

(a) f_{n}\approx0,7958\\ \text{Hz}
(b) T_{n}\approx1,2566\\ \text{s}
(c) \omega_{d}\approx4,9749\\ \mathrm{rad/s}
(d) f_{d}\approx0,7923\\ \text{Hz}
(e) T_{d}\approx1,2617\\ \text{s}

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