Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa
presa a uma mola obedecendo a lei de Hooke,
, constante de mola
, e sujeita a uma força dissipativa
. Se a partícula é liberada da posição
com velocidade nula, determine a solução para o movimento nos seguintes casos:
(regime sub-amortecido);
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador harmônico amortecido cuja equação de movimento é
onde
e a força de amortecimento é proporcional à velocidade. No regime sub-amortecido temos
Para resolver, vamos escrever a equação característica, achar as raízes complexas e então impor as condições iniciais
e
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
dividindo tudo por
:
onde definimos
A equação característica é
Passo 3
As raízes dessa equação são
No regime sub-amortecido
, o termo dentro da raiz é negativo. Definimos
e obtemos as raízes complexas
Passo 4
A solução geral do problema com raízes complexas é
Agora aplicamos as condições iniciais. De
vem
Para
calculamos
Em
e impondo
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
onde