Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa m presa a uma mola obedecendo a lei de Hooke, F_{\text {mola }}=-k x, constante de mola k, e sujeita a uma força dissipativa F_{\text {diss }}=-b \dot{x}. Se a partícula é liberada da posição x(t=0)=x_{0} com velocidade nula, determine a solução para o movimento nos seguintes casos:
k / m \equiv \omega_{0}^{2}>b^{2} /(2 m)^{2} (regime sub-amortecido);

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador harmônico amortecido cuja equação de movimento é
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0,
onde k/m=\omega_{0}^{2} e a força de amortecimento é proporcional à velocidade. No regime sub-amortecido temos
\omega_{0}^{2} > \Bigl(\frac{b}{2m}\Bigr)^{2}.
Para resolver, vamos escrever a equação característica, achar as raízes complexas e então impor as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot x(0)=0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0
dividindo tudo por m:
\ddot{x} + 2\gamma\dot{x} + \omega_{0}^{2} x = 0,
onde definimos
\gamma = \frac{b}{2m}.
A equação característica é
r^{2} + 2\gamma\,r + \omega_{0}^{2} = 0.

Passo 3

As raízes dessa equação são
r = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}.
No regime sub-amortecido \gamma<\omega_{0}, o termo dentro da raiz é negativo. Definimos
\omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma^{2}} > 0,
e obtemos as raízes complexas
r = -\gamma \pm i\,\omega_{1}.

Passo 4

A solução geral do problema com raízes complexas é
x(t) = e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{1}t) + B\sin(\omega_{1}t)\bigr).
Agora aplicamos as condições iniciais. De x(0)=x_{0} vem
x(0)=A = x_{0}.
Para \dot x(t) calculamos
\dot x(t) = e^{-\gamma t}\bigl(-\gamma A\cos(\omega_{1}t) - \gamma B\sin(\omega_{1}t) - A\,\omega_{1}\sin(\omega_{1}t) + B\,\omega_{1}\cos(\omega_{1}t)\bigr).
Em t=0 e impondo \dot x(0)=0:
0 = -\gamma A + B\,\omega_{1} \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\gamma A}{\omega_{1}} = \frac{\gamma x_{0}}{\omega_{1}}.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
x(t) = x_{0}\,e^{-\gamma t} \Bigl[\cos(\omega_{1}t) + \frac{\gamma}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\Bigr],
onde
\gamma = \frac{b}{2m}, \quad \omega_{1} = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}, \quad \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Resposta

x(t) = x_{0}\,e^{-\frac{b}{2m}t} \Bigl[\cos\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}-\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}\;t\bigr) + \frac{\tfrac{b}{2m}}{\sqrt{\tfrac{k}{m}-\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}} \,\sin\bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m}-\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}\;t\bigr)\Bigr].

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