. Uma partícula de massa m se move sob a ação de da força
F(x)=-F_{0} \operatorname{sinh} (a x)=-\frac{F_{0}}{2}\left(e^{a x}-e^{-a x}\right),
onde a>0. Esquematize a forma da energia potencial, discuta o movimento (se limitado ou ilimitado) para uma dada energia E e determine a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável, se este existir.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m sujeita à força unidimensional
F(x)=-F_{0}\operatorname{sinh}(ax)=-\frac{F_{0}}{2}\bigl(e^{ax}-e^{-ax}\bigr),
com a>0. O que precisamos fazer é (i) encontrar a energia potencial V(x), (ii) esboçar sua forma qualitativa e discutir se o movimento é limitado ou ilimitado para um dado valor de energia E, e (iii) calcular a frequência de pequenas oscilações em torno de um possível ponto de equilíbrio estável.

Passo 2

Como F(x)=-\,\mathrm{d}V/\mathrm{d}x, temos
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}=-F(x)=F_{0}\operatorname{sinh}(ax).
Integrando em x,
V(x)=\int F_{0}\operatorname{sinh}(ax)\,\mathrm{d}x =\frac{F_{0}}{a}\operatorname{cosh}(ax)+C.
Conveniente escolher a constante C tal que V(0)=0, ou seja C=-F_{0}/a. Logo
V(x)=\frac{F_{0}}{a}\bigl[\operatorname{cosh}(ax)-1\bigr].

Passo 3

A função \operatorname{cosh}(ax) tem mínimo em x=0 e cresce exponencialmente para \lvert x\rvert\to\infty. Assim, V(x) é uma “fenda” simétrica com poço central em x=0 e V(x)\to+\infty quando \lvert x\rvert\to\infty. O esboço qualitativo é um poço de potencial tipo coseno hiperbólico.

Passo 4

Como V(x)\to+\infty nas duas pontas, para qualquer energia total E finita há pontos de inversão onde E=V(x). Isso significa que a partícula fica confinada entre duas posições de retorno \pm x_{\rm max} tais que V(x_{\rm max})=E. Logo o movimento é limitado para toda E<\infty.

Passo 5

O ponto de equilíbrio estável satisfaz F(x)=0, ou seja x=0. Para obter a frequência de pequenas oscilações expandimos V(x) em série de Taylor até a ordem x^2:
V(x)=\frac{F_{0}}{a}\Bigl[\bigl(1+\tfrac{(ax)^{2}}{2}+\cdots\bigr)-1\Bigr] =\frac{F_{0}a}{2}\,x^{2}+\cdots.
Comparando com o potencial harmônico \tfrac{1}{2}k x^{2}, vemos que
k=F_{0}\,a.
A frequência angular das pequenas oscilações é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{F_{0}\,a}{m}}.

Resposta

A energia potencial é
V(x)=\frac{F_{0}}{a}\bigl[\operatorname{cosh}(ax)-1\bigr].
O movimento é sempre limitado (poço de potencial divergente nas fronteiras). Há um equilíbrio estável em x=0, e a frequência de pequenas oscilações em torno dele é
\omega=\sqrt{\frac{F_{0}\,a}{m}}.

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