. Uma partícula de massa
se move sob a ação de da força
onde
. Esquematize a forma da energia potencial, discuta o movimento (se limitado ou ilimitado) para uma dada energia
e determine a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável, se este existir.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
sujeita à força unidimensional
com
. O que precisamos fazer é (i) encontrar a energia potencial
, (ii) esboçar sua forma qualitativa e discutir se o movimento é limitado ou ilimitado para um dado valor de energia
, e (iii) calcular a frequência de pequenas oscilações em torno de um possível ponto de equilíbrio estável.
Passo 2
Como
, temos
Integrando em
,
Conveniente escolher a constante
tal que
, ou seja
. Logo
Passo 3
A função
tem mínimo em
e cresce exponencialmente para
. Assim,
é uma “fenda” simétrica com poço central em
e
quando
. O esboço qualitativo é um poço de potencial tipo coseno hiperbólico.
Passo 4
Como
nas duas pontas, para qualquer energia total
finita há pontos de inversão onde
. Isso significa que a partícula fica confinada entre duas posições de retorno
tais que
. Logo o movimento é limitado para toda
.
Passo 5
O ponto de equilíbrio estável satisfaz
, ou seja
. Para obter a frequência de pequenas oscilações expandimos
em série de Taylor até a ordem
:
Comparando com o potencial harmônico
, vemos que
A frequência angular das pequenas oscilações é
Resposta
A energia potencial é
O movimento é sempre limitado (poço de potencial divergente nas fronteiras). Há um equilíbrio estável em
, e a frequência de pequenas oscilações em torno dele é