Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa m presa a uma mola obedecendo a lei de Hooke, F_{\text {mola }}=-k x, constante de mola k, e sujeita a uma força dissipativa F_{\text {diss }}=-b \dot{x}. Se a partícula é liberada da posição x(t=0)=x_{0} com velocidade nula, determine a solução para o movimento nos seguintes casos:
\omega_{0}^{2}<b^{2} /(2 m)^{2} (regime super-amortecido);

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico linear com massa m, constante elástica k e amortecimento viscoso de coeficiente b. A equação de movimento é
m\ddot x + b\dot x + kx = 0
e as condições iniciais são
x(0)=x_{0},\quad \dot x(0)=0.
No regime superamortecido temos
\gamma^2 > \omega_{0}^{2},
onde definimos
\gamma = \frac{b}{2m}, \quad \omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Precisamos então resolver essa EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo a equação na forma padrão dividindo por m, obtemos
\ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega_{0}^{2}\,x = 0.
Buscamos soluções do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo, chega-se à equação característica
r^{2} + 2\gamma\,r + \omega_{0}^{2} = 0.

Passo 3

As raízes da equação característica são
r_{1,2} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}.
No regime superamortecido \gamma^2>\omega_0^2, essas raízes são reais e distintas. Definimos \lambda = \sqrt{\gamma^{2} - \omega_{0}^{2}}, de modo que
r_{1} = -\gamma + \lambda, \quad r_{2} = -\gamma - \lambda.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = C_{1}\,e^{r_{1}t} + C_{2}\,e^{r_{2}t}.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais. De x(0)=x_{0} segue
C_{1} + C_{2} = x_{0}.
Da derivada
\dot x(t) = C_{1}\,r_{1}\,e^{r_{1}t} + C_{2}\,r_{2}\,e^{r_{2}t},
e de \dot x(0)=0 obtemos
C_{1}\,r_{1} + C_{2}\,r_{2} = 0.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = x_{0},\\\ C_{1}\,r_{1} + C_{2}\,r_{2} = 0, \end{cases}
temos
C_{1} = x_{0}\,\frac{r_{2}}{r_{2}-r_{1}}, \quad C_{2} = -\,x_{0}\,\frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}.

Passo 7

Substituindo em x(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t}, obtemos a solução completa:
x(t) = x_{0}\,\frac{r_{2}}{r_{2}-r_{1}}\,e^{r_{1}t} - x_{0}\,\frac{r_{1}}{r_{2}-r_{1}}\,e^{r_{2}t},
com
r_{1} = -\gamma + \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}, \quad r_{2} = -\gamma - \sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}.

Resposta

\boxed{ x(t) = x_{0}\,\frac{-\gamma-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}} {2\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}}\,e^{(-\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}})\,t} \;-\; x_{0}\,\frac{-\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}} {2\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}}\,e^{(-\gamma-\sqrt{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}})\,t} }
onde \gamma=b/(2m) e \omega_{0}=\sqrt{k/m}.

Exercícios relacionados