Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa
presa a uma mola obedecendo a lei de Hooke,
, constante de mola
, e sujeita a uma força dissipativa
. Se a partícula é liberada da posição
com velocidade nula, determine a solução para o movimento nos seguintes casos:
(regime super-amortecido);
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico linear com massa
, constante elástica
e amortecimento viscoso de coeficiente
. A equação de movimento é
e as condições iniciais são
No regime superamortecido temos
onde definimos
Precisamos então resolver essa EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Escrevendo a equação na forma padrão dividindo por
, obtemos
Buscamos soluções do tipo
. Substituindo, chega-se à equação característica
Passo 3
As raízes da equação característica são
No regime superamortecido
, essas raízes são reais e distintas. Definimos
de modo que
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais. De
segue
Da derivada
e de
obtemos
Passo 6
Resolvendo o sistema
temos
Passo 7
Substituindo em
, obtemos a solução completa:
com
Resposta
onde
e
.