. Um pendulo de ponto de sustentação fixo e de comprimento L com uma massa m presa no final, se move através de um meio viscoso e sob a ação da gravidade. Considere que o ângulo de abertura do pendulo com o eixo vertical é muito pequeno ( \theta \ll 1 ). Considere também que o meio viscoso cria uma força de resistencia ao movimento do pendulo proporcional à velocidade angular \dot{\theta} da forma: F_{\text {viscosidade }}=-2 m \sqrt{g L} \dot{\theta}, onde g é a constante da gravidade. Determine \theta(t) se o pendulo é lançado no instante inicial t=0 com velocidade \dot{\theta}(0)=0 e fazendo um ângulo \theta(0)=\alpha com a vertical.
\left(\right. resposta: \left.\theta(t)=\alpha(1+\sqrt{g / L} t) e^{-\sqrt{g / L} t}\right)

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo de massa m e comprimento L em pequeno deslocamento angular \theta, sujeito à gravidade g e a uma força de viscosidade que exerce um torque proporcional à velocidade angular \dot\theta. Nos pequenos ângulos temos sin \theta\approx\theta, e a força viscosa é dada por -2m\sqrt{gL}\,\dot\theta. Sabendo \theta(0)=\alpha e \dot\theta(0)=0, queremos encontrar \theta(t).

Passo 2

Escrevemos a equação de movimento pelo balanço de torques em torno do ponto de sustentação. O torque da gravidade é
\tau_g = -\,m g L\,\theta
e o torque da viscosidade é
\tau_v = -2m\sqrt{gL}\,L\,\dot\theta \;=\;-2mL\sqrt{gL}\,\dot\theta.
Como o momento de inércia do pêndulo é I=mL^2, a segunda lei de Newton rotacional dá
I\,\ddot\theta = \tau_g + \tau_v \;\Longrightarrow\; mL^2\,\ddot\theta = -m g L\,\theta \;-\;2mL\sqrt{gL}\,\dot\theta.

Passo 3

Dividindo por mL^2, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem
\ddot\theta +2\sqrt{\frac{g}{L}}\,\dot\theta + \frac{g}{L}\,\theta = 0.
Chamando \omega_0=\sqrt{g/L} e \gamma= \sqrt{g/L}, a equação fica
\ddot\theta +2\gamma\,\dot\theta +\omega_0^2\,\theta=0
com 2\gamma=2\omega_0. Como \gamma^2-\omega_0^2=0, o sistema está criticamente amortecido. A solução geral é
\theta(t)=(A+B\,t)\,e^{-\gamma t}.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
\theta(0)=A=\alpha \quad\text{e}\quad \dot\theta(t)=\bigl(B - A\,\gamma - B\,\gamma\,t\bigr)e^{-\gamma t}.
Para t=0 e \dot\theta(0)=0 temos
\dot\theta(0)=B - A\,\gamma=0 \;\Longrightarrow\; B = A\,\gamma = \alpha\,\sqrt{\tfrac{g}{L}}.

Passo 5

Substituindo A=\alpha e B=\alpha\sqrt{g/L} na solução geral, obtemos
\theta(t) =\bigl(\alpha+\alpha\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t\bigr)\,e^{-\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t} =\alpha\bigl(1+\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t\bigr)e^{-\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t}.

Resposta

\theta(t)=\alpha\bigl(1+\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t\bigr)e^{-\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t}.

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