. Um pendulo de ponto de sustentação fixo e de comprimento
com uma massa
presa no final, se move através de um meio viscoso e sob a ação da gravidade. Considere que o ângulo de abertura do pendulo com o eixo vertical é muito pequeno (
). Considere também que o meio viscoso cria uma força de resistencia ao movimento do pendulo proporcional à velocidade angular
da forma:
, onde
é a constante da gravidade. Determine
se o pendulo é lançado no instante inicial
com velocidade
e fazendo um ângulo
com a vertical.
resposta:
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo de massa
e comprimento
em pequeno deslocamento angular
, sujeito à gravidade
e a uma força de viscosidade que exerce um torque proporcional à velocidade angular
. Nos pequenos ângulos temos sin
, e a força viscosa é dada por
. Sabendo
e
, queremos encontrar
.
Passo 2
Escrevemos a equação de movimento pelo balanço de torques em torno do ponto de sustentação. O torque da gravidade é
e o torque da viscosidade é
Como o momento de inércia do pêndulo é
, a segunda lei de Newton rotacional dá
Passo 3
Dividindo por
, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem
Chamando
e
, a equação fica
com
. Como
, o sistema está criticamente amortecido. A solução geral é
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais. Em
:
Para
e
temos
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos