Considere o número complexo z_{1} \neq 1, tal que z_{1} seja solução da equação z^{6}=1, com menor argumento positivo. A solução Z_{2} da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de Z_{1}, é igual a
(a) \frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}.
(b) -\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}.
(c) \quad-1.
(d) \quad-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.
(e) \quad \frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Existe z_{1}\neq 1 que é solução da equação z^{6}=1 e tem o menor argumento positivo entre as soluções.
  • Existe Z_{2} (vou chamar de z_{2}) que também é solução da mesma equação z^{6}=1 e cujo argumento é o triplo do argumento de z_{1}.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar qual das alternativas (a) a (e) representa z_{2}.

Passo 2

Entender todas as soluções de z^{6}=1. Qualquer solução dessa equação tem módulo 1 e pode ser escrita na forma exponencial \,e^{i\theta}\, com \theta real. As seis soluções distintas são obtidas fazendo \theta = \dfrac{2\pi k}{6} para k=0,1,2,3,4,5. Ou seja,
z_{k}=e^{i\frac{2\pi k}{6}}=\cos\!\left(\frac{2\pi k}{6}\right)+i\sin\!\left(\frac{2\pi k}{6}\right), \qquad k=0,1,2,3,4,5.
Explicando rápido: aqui k é um índice inteiro que gera os diferentes argumentos possíveis; \frac{2\pi k}{6} são esses argumentos, igualmente espaçados em volta do círculo unitário.

Passo 3

Identificar z_{1} (o dado do enunciado: a raiz com menor argumento positivo, diferente de 1). A menor argumento positivo ocorre para k=1, pois k=0 dá argumento 0 (que corresponde a 1). Então
z_{1}=e^{i\frac{2\pi}{6}}=e^{i\frac{\pi}{3}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Usando os valores trigonométricos conhecidos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},
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z_{1}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular o argumento de z_{2}. Pelo enunciado, o argumento de z_{2} é o triplo do argumento de z_{1}. O argumento de z_{1} é \dfrac{\pi}{3}, então o argumento de z_{2} é
3\cdot\frac{\pi}{3}=\pi.
Como argumentos são tomados módulo 2\pi, \pi é um argumento válido. Assim
z_{2}=e^{i\pi}=\cos(\pi)+i\sin(\pi).

Passo 5

Avaliar \cos(\pi) e \sin(\pi):
\cos(\pi)=-1,\qquad \sin(\pi)=0.
Portanto
z_{2}=-1+ i\cdot 0 = -1.

Passo 6

Comparar com as alternativas dadas. A alternativa que corresponde a -1 é a letra (c).

Resposta

(c) -1

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