Considere o número complexo
, tal que
seja solução da equação
, com menor argumento positivo. A solução
da mesma equação, cujo argumento é o triplo do argumento de
, é igual a
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Existe
que é solução da equação e tem o menor argumento positivo entre as soluções. - Existe
(vou chamar de ) que também é solução da mesma equação e cujo argumento é o triplo do argumento de .
O que o enunciado pede: - Determinar qual das alternativas (a) a (e) representa
.
Passo 2
Entender todas as soluções de
. Qualquer solução dessa equação tem módulo
e pode ser escrita na forma exponencial
com
real. As seis soluções distintas são obtidas fazendo
para
. Ou seja,
Explicando rápido: aqui
é um índice inteiro que gera os diferentes argumentos possíveis;
são esses argumentos, igualmente espaçados em volta do círculo unitário.
Passo 3
Identificar
(o dado do enunciado: a raiz com menor argumento positivo, diferente de
). A menor argumento positivo ocorre para
, pois
dá argumento
(que corresponde a
). Então
Usando os valores trigonométricos conhecidos:
logo
Passo 4
Calcular o argumento de
. Pelo enunciado, o argumento de
é o triplo do argumento de
. O argumento de
é
, então o argumento de
é
Como argumentos são tomados módulo
,
é um argumento válido. Assim
Passo 5
Avaliar
e
:
Portanto
Passo 6
Comparar com as alternativas dadas. A alternativa que corresponde a
é a letra (c).
Resposta
(c)