O conjunto de todos os números reais q>1, para os quais a_{1}, a_{2} \mathrm{e} a_{3} formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão q, com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um triângulo, é
(a) ]-1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}[.
( b ) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{2}[.
(c) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}[.
(d) ] 1, \frac{1+\sqrt{5}}{4}[.
( e ) ] 1,1+\sqrt{5}[.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa.
  • Dados fornecidos:
    • q>1.
    • a_{1},a_{2},a_{3} são, nessa ordem, termos de uma progressão geométrica de razão q e primeiro termo 2.
    • Os números a_{1},a_{2},a_{3} representam as medidas dos lados de um triângulo.
  • O que se pede:
    • Determinar o conjunto de todos os reais q>1 que satisfazem essas condições (ou seja, todos os q>1 tais que os três termos formem lados de um triângulo).

Passo 2

Expressar os termos da progressão geométrica em função de q.
  • Fórmula de uma progressão geométrica: o termo n-ésimo é dado por \,a_n = a_1 q^{\,n-1}\,, onde:
    • a_1 é o primeiro termo,
    • q é a razão,
    • n é a posição do termo.
  • Aqui a_1=2. Logo: a_{1}=2,\qquad a_{2}=2q,\qquad a_{3}=2q^{2}.

Passo 3

Escrever as condições para que três comprimentos formem um triângulo (descrever o teorema usado).
  • Condição (desigualdades triangulares): três números positivos x,y,z formam lados de um triângulo se, e somente se,
    x+y>z,\qquad x+z>y,\qquad y+z>x.
    Explicação curta: cada soma de dois lados deve ser maior que o terceiro para fechar o triângulo.
  • Observação sobre ordem dos lados: como q>1, tem-se
    a_{1}=2 < a_{2}=2q < a_{3}=2q^{2},
    portanto a_{3} é o maior lado. Assim, entre as três desigualdades acima, as duas envolvendo a_3 no segundo membro são triviais:
    a_{1}+a_{3}>a_{2}\quad\text{e}\quad a_{2}+a_{3}>a_{1},
    porque a_{1}+a_{3}>a_{3}>a_{2} e a_{2}+a_{3}>a_{3}>a_{1}. A única desigualdade não trivial é
    a_{1}+a_{2}>a_{3}.

Passo 4

Aplicar a desigualdade não trivial com os termos em função de q.
  • Substituindo a_{1}=2, a_{2}=2q, a_{3}=2q^{2} na desigualdade a_{1}+a_{2}>a_{3}: 2 + 2q > 2q^{2}.
  • Dividindo ambos os lados por 2 (positivo, então não inverte o sinal): 1 + q > q^{2}.
  • Passando todos os termos para o lado esquerdo: q^{2} - q - 1 < 0.

Passo 5

Resolver a inequação quadrática q^{2}-q-1<0.
  • Primeiro achar as raízes da equação quadrática associada q^{2}-q-1=0 usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
    • Discriminante \Delta = (-1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1) = 1 + 4 = 5.
    • Raízes: q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
    • As duas raízes são \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} (negativa, aproximadamente -0,618) e \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} (positiva, a famosa razão áurea \approx 1,618).
  • Como o coeficiente de q^{2} é positivo, o gráfico da parábola q^{2}-q-1 abre para cima. Portanto a expressão q^{2}-q-1 é negativa exatamente entre as duas raízes. Logo:
    q^{2}-q-1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1-\sqrt{5}}{2} < q < \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

Passo 6

Aplicar a condição adicional q>1 e concluir o intervalo final.
  • Intersecção entre q>1 e o intervalo obtido em Passo 5:
    • A raiz menor \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} é menor que 1, então ao exigir q>1 ficamos com 1 < q < \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
  • Observação sobre as extremidades:
    • q=1 não é permitido pelo enunciado (exige q>1).
    • q=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} tornaria a_{1}+a_{2}=a_{3}, ou seja, triângulo degenerado (colinear), portanto também não é incluído. Por isso os extremos são abertos.

Passo 7

Verificação por exemplo (intuição e checagem rápida).
  • Se escolher q=1{,}2 (que pertence ao intervalo): a_1=2, a_2=2{,}4, a_3=2{,}88. Checando 2+2{,}4=4{,}4>2{,}88 — forma triângulo.
  • Se escolher q=1{,}7 (fora do intervalo, maior que \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}): a_1=2, a_2=3{,}4, a_3\approx5{,}78. Checando 2+3{,}4=5{,}4<5{,}78 — não forma triângulo. Isso confere com a solução encontrada.

Resposta

(b) ]1, \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[

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