O conjunto de todos os números reais
, para os quais
formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão
, com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um triângulo, é
(a)
.
( b )
.
(c)
.
(d)
.
( e )
.
(a)
( b )
(c)
(d)
( e )
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa.
-
Dados fornecidos:
-
. -
são, nessa ordem, termos de uma progressão geométrica de razão e primeiro termo . - Os números
representam as medidas dos lados de um triângulo.
-
-
O que se pede:
- Determinar o conjunto de todos os reais
que satisfazem essas condições (ou seja, todos os tais que os três termos formem lados de um triângulo).
- Determinar o conjunto de todos os reais
Passo 2
Expressar os termos da progressão geométrica em função de
.
- Fórmula de uma progressão geométrica: o termo
-ésimo é dado por , onde: -
é o primeiro termo, -
é a razão, -
é a posição do termo.
-
- Aqui
. Logo:
Passo 3
Escrever as condições para que três comprimentos formem um triângulo (descrever o teorema usado).
-
Condição (desigualdades triangulares): três números positivos
formam lados de um triângulo se, e somente se, Explicação curta: cada soma de dois lados deve ser maior que o terceiro para fechar o triângulo. -
Observação sobre ordem dos lados: como
, tem-se portantoé o maior lado. Assim, entre as três desigualdades acima, as duas envolvendo no segundo membro são triviais: porquee . A única desigualdade não trivial é
Passo 4
Aplicar a desigualdade não trivial com os termos em função de
.
- Substituindo
, , na desigualdade : - Dividindo ambos os lados por
(positivo, então não inverte o sinal): - Passando todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 5
Resolver a inequação quadrática
.
-
Primeiro achar as raízes da equação quadrática associada
usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): - Discriminante
. - Raízes:
- As duas raízes são
(negativa, aproximadamente ) e (positiva, a famosa razão áurea ).
- Discriminante
-
Como o coeficiente de
é positivo, o gráfico da parábola abre para cima. Portanto a expressão é negativa exatamente entre as duas raízes. Logo:
Passo 6
Aplicar a condição adicional
e concluir o intervalo final.
- Intersecção entre
e o intervalo obtido em Passo 5: - A raiz menor
é menor que , então ao exigir ficamos com
- A raiz menor
- Observação sobre as extremidades:
-
não é permitido pelo enunciado (exige ). -
tornaria , ou seja, triângulo degenerado (colinear), portanto também não é incluído. Por isso os extremos são abertos.
-
Passo 7
Verificação por exemplo (intuição e checagem rápida).
- Se escolher
(que pertence ao intervalo): , , . Checando — forma triângulo. - Se escolher
(fora do intervalo, maior que ): , , . Checando — não forma triângulo. Isso confere com a solução encontrada.
Resposta
(b)