Considere os números complexos:
\begin{aligned} & z_{1}=2 e^{j \pi / 4} \\\ & z_{2}=8 e^{j \pi / 3} \end{aligned}
Determine:
2 z_{1}-z_{2}

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma exponencial:
z_{1}=2 e^{j \pi / 4} e z_{2}=8 e^{j \pi / 3}.
A pergunta é calcular 2 z_{1}-z_{2}.

Passo 2

Regra que vamos usar (fórmula de Euler): para qualquer número real r e ângulo \theta,
r e^{j\theta}=r\big(\cos\theta + j\sin\theta\).
Aqui r é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo). Isso transforma a forma exponencial em forma retangular a+jb, que é a mais prática para somar/subtrair números complexos. Também lembraremos dos valores trigonométricos padrão:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},
\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Calcular 2z_{1}. Primeiro escrevemos z_{1} em forma retangular:
z_{1}=2 e^{j\pi/4}=2\big(\cos(\pi/4)+j\sin(\pi/4)\).
Multiplicando por 2:
2z_{1}=4\big(\cos(\pi/4)+j\sin(\pi/4)\).
Substituindo os valores trigonométricos:
2z_{1}=4\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+j\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando:
2z_{1}=2\sqrt{2} + j\,2\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular z_{2} em forma retangular:
z_{2}=8 e^{j\pi/3}=8\big(\cos(\pi/3)+j\sin(\pi/3)\).
Substituindo os valores trigonométricos:
z_{2}=8\!\left(\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Simplificando:
z_{2}=4 + j\,4\sqrt{3}.

Passo 5

Agora fazemos a subtração componente a componente (parte real com real, parte imaginária com imaginária):
2z_{1}-z_{2}=(2\sqrt{2} + j\,2\sqrt{2})-(4 + j\,4\sqrt{3}).
Separando real e imaginária e simplificando:
2z_{1}-z_{2}=(2\sqrt{2}-4)+j\,(2\sqrt{2}-4\sqrt{3}).
Opcionalmente, fatorando 2:
2z_{1}-z_{2}=2(\sqrt{2}-2)+j\,2(\sqrt{2}-2\sqrt{3}).

Resposta

2\sqrt{2}-4 + j\,(2\sqrt{2}-4\sqrt{3})

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