Considere uma onda eletromagnética plana se propagando ao longo do eixo Ox . Escreva a expressão fundamental do módulo do campo elétrico e da indução magnética.

Passo 1

O enunciado dá uma onda eletromagnética plana que se propaga ao longo do eixo Ox e pede que eu escreva a expressão fundamental do módulo do campo elétrico e da induução magnética. Informações importantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • A onda é plana e se propaga ao longo de Ox.
  • Precisa-se do módulo (valor escalar instantâneo) do campo elétrico e da indução magnética.
    O enunciado não fornece amplitudes nem fase, então vou manter parâmetros gerais: amplitude E_0, número de onda k, frequência angular \omega e fase \varphi. Também vou indicar a relação entre as amplitudes (que depende da velocidade de propagação v do meio; em vácuo v=c).

Passo 2

O que significa "onda eletromagnética plana se propagando ao longo de Ox" e quais são as formas usuais das soluções:
  • “Plana” significa que superfícies de fase são planos perpendiculares ao vetor de propagação; a dependência espacial/temporal aparece combinada na fase (kx-\omega t+\varphi).
  • Para uma onda viajando na direção +x é comum usar a forma escalar (instantânea) para a componente do campo:
E(x,t)=E_0\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)
mas isso é a componente de uma das direções transversais; a forma vetorial será explicada no próximo passo.
Aqui já explico o significado dos símbolos:
  • E_0: amplitude (módulo máximo) do campo elétrico.
  • k: número de onda (unidade: \mathrm{m^{-1}}), relacionado ao comprimento de onda por \lambda=2\pi/k.
  • \omega: frequência angular (unidade: \mathrm{rad/s}), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f.
  • \varphi: fase inicial (em radianos).
  • t: tempo; x: coordenada ao longo de Ox.

Passo 3

Geometria e propriedades essenciais (muito importantes para escrever corretamente os vetores e os módulos):
  • Ondas eletromagnéticas são transversais: o vetor campo elétrico \mathbf{E} e o vetor indução magnética \mathbf{B} são ortogonais entre si e ambos são ortogonais ao vetor de propagação \hat{\mathbf{k}} (que aqui é \hat{\mathbf{x}}).
  • Posso escolher um sistema de coordenadas conveniente: por exemplo \mathbf{E} ao longo de \hat{\mathbf{y}} e \mathbf{B} ao longo de \hat{\mathbf{z}}. Então uma solução padrão vetorial (onda viajando para +x) é:
\mathbf{E}(x,t)=E_0\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{B}(x,t)=B_0\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Essas escolhas respeitam \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{z}} (orientação direita).

Passo 4

Derivando a relação entre as amplitudes E_0 e B_0 (a parte que normalmente dá medo, mas é simples se a gente usar uma das equações de Maxwell):
  • A equação de Maxwell-Faraday em forma diferencial (no sistema SI) é \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
  • Para a forma escolhida acima, calcule as derivadas (mostrando passo a passo):
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl[E_0\cos(kx-\omega t+\varphi)\bigr]=-kE_0\sin(kx-\omega t+\varphi).
    • \dfrac{\partial}{\partial t}\bigl[B_0\cos(kx-\omega t+\varphi)\bigr]=\omega B_0\sin(kx-\omega t+\varphi).
  • A componente apropriada do rotacional dá (com sinais) a igualdade
kE_0\sin(kx-\omega t+\varphi)=\omega B_0\sin(kx-\omega t+\varphi).
  • Como essa igualdade vale para todo x,t (salvo pontos onde o seno é zero, mas pela dependência contínua então os coeficientes devem coincidir), obtemos a relação de amplitudes:
kE_0=\omega B_0 \quad\Longrightarrow\quad B_0=\frac{k}{\omega}\,E_0.
  • Agora uso a relação entre \omega e k: a velocidade de fase da onda é v=\dfrac{\omega}{k}. Então
B_0=\frac{E_0}{v}.

Passo 5

Interpretação física e fórmulas em termos de propriedades do meio:
  • Em um meio com permissividade \varepsilon e permeabilidade \mu, a velocidade de propagação é v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}. Portanto, em geral:
B_0=\frac{E_0}{v}=E_0\sqrt{\mu\varepsilon}.
  • No vácuo, v=c e \varepsilon=\varepsilon_0,\\ \mu=\mu_0, daí a relação familiar:
B_0=\frac{E_0}{c}.
  • Outra forma útil é relacionar \mathbf{B} vetorialmente a \mathbf{E} e à direção de propagação:
\mathbf{B}(x,t)=\frac{1}{v}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}(x,t).
Isto deixa explícito que \mathbf{B} é perpendicular e tem amplitude reduzida pela velocidade do meio.

Passo 6

Expressões finais vetoriais (como referência rápida):
\mathbf{E}(x,t)=E_0\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}, \qquad \mathbf{B}(x,t)=\frac{E_0}{v}\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\,\hat{\mathbf{z}}.
Estas são formas “reais” e instantâneas. (Pode-se também usar a forma complexa com e^{i(kx-\omega t)} e tomar a parte real.)

Passo 7

Agora escrevo explicitamente os módulos (o que o enunciado pediu): o módulo instantâneo do campo elétrico e da indução magnética são os valores escalares (positivos) correspondentes às amplitudes temporais:
\bigl|E(x,t)\bigr|=E_0\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right|
\bigl|B(x,t)\bigr|=\frac{E_0}{v}\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right|
E, lembrando o caso vácuo (substituindo v=c):
\bigl|B(x,t)\bigr|=\frac{E_0}{c}\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right|.

Passo 8

Resumo rápido para decorar (alma de prova):
  • modalidade padrão: \bigl|E(x,t)\bigr|=E_0|\cos(kx-\omega t+\varphi)|.
  • relação entre módulos: \bigl|B(x,t)\bigr|=\dfrac{1}{v}\bigl|E(x,t)\bigr| (em vácuo v=c, então \bigl|B\bigr|=\dfrac{\bigl|E\bigr|}{c}).
    Força um pouco menos técnica: memorize que E_0/B_0=v e que \mathbf{B} é obtido por \hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E} dividido por v.

Resposta

\bigl|E(x,t)\bigr|=E_0\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right|\n \bigl|B(x,t)\bigr|=\dfrac{E_0}{v}\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right| \;(em vácuo: \bigl|B(x,t)\bigr|=\dfrac{E_0}{c}\left|\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)\right|)

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