Considere uma onda eletromagnética plana se propagando ao longo do eixo Ox . Escreva a expressão fundamental do módulo do campo elétrico e da indução magnética.
Passo 1
O enunciado dá uma onda eletromagnética plana que se propaga ao longo do eixo Ox e pede que eu escreva a expressão fundamental do módulo do campo elétrico e da induução magnética. Informações importantes fornecidas (implícitas no enunciado):
A onda é plana e se propaga ao longo de Ox.
Precisa-se do módulo (valor escalar instantâneo) do campo elétrico e da indução magnética.
O enunciado não fornece amplitudes nem fase, então vou manter parâmetros gerais: amplitude E_0, número de onda k, frequência angular \omega e fase \varphi. Também vou indicar a relação entre as amplitudes (que depende da velocidade de propagação v do meio; em vácuo v=c).
Passo 2
O que significa "onda eletromagnética plana se propagando ao longo de Ox" e quais são as formas usuais das soluções:
“Plana” significa que superfícies de fase são planos perpendiculares ao vetor de propagação; a dependência espacial/temporal aparece combinada na fase (kx-\omega t+\varphi).
Para uma onda viajando na direção +x é comum usar a forma escalar (instantânea) para a componente do campo:
E(x,t)=E_0\cos\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr)
mas isso é a componente de uma das direções transversais; a forma vetorial será explicada no próximo passo.
Aqui já explico o significado dos símbolos:
E_0: amplitude (módulo máximo) do campo elétrico.
k: número de onda (unidade: \mathrm{m^{-1}}), relacionado ao comprimento de onda por \lambda=2\pi/k.
\omega: frequência angular (unidade: \mathrm{rad/s}), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f.
\varphi: fase inicial (em radianos).
t: tempo; x: coordenada ao longo de Ox.
Passo 3
Geometria e propriedades essenciais (muito importantes para escrever corretamente os vetores e os módulos):
Ondas eletromagnéticas são transversais: o vetor campo elétrico \mathbf{E} e o vetor indução magnética \mathbf{B} são ortogonais entre si e ambos são ortogonais ao vetor de propagação \hat{\mathbf{k}} (que aqui é \hat{\mathbf{x}}).
Posso escolher um sistema de coordenadas conveniente: por exemplo \mathbf{E} ao longo de \hat{\mathbf{y}} e \mathbf{B} ao longo de \hat{\mathbf{z}}. Então uma solução padrão vetorial (onda viajando para +x) é:
Como essa igualdade vale para todo x,t (salvo pontos onde o seno é zero, mas pela dependência contínua então os coeficientes devem coincidir), obtemos a relação de amplitudes:
Estas são formas “reais” e instantâneas. (Pode-se também usar a forma complexa com e^{i(kx-\omega t)} e tomar a parte real.)
Passo 7
Agora escrevo explicitamente os módulos (o que o enunciado pediu): o módulo instantâneo do campo elétrico e da indução magnética são os valores escalares (positivos) correspondentes às amplitudes temporais:
relação entre módulos: \bigl|B(x,t)\bigr|=\dfrac{1}{v}\bigl|E(x,t)\bigr| (em vácuo v=c, então \bigl|B\bigr|=\dfrac{\bigl|E\bigr|}{c}).
Força um pouco menos técnica: memorize que E_0/B_0=v e que \mathbf{B} é obtido por \hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E} dividido por v.