O fluxo de energia da luz solar até a Terra é cerca de 1,4 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2}.
(a) Determine os valores máximos dos campos elétrico e magnético para uma onda senoidal com essa intensidade.
(b) A distância da Terra ao Sol é cerca de 1,5 \times 10^{11} \mathrm{~m}. Ache a potência total irradiada pelo Sol.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (não resolvo ainda, só listo):
  • Dado: o fluxo (irradiância) da luz solar na Terra é 1{,}4\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^2. Ou seja, I=1{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Dado: a distância da Terra ao Sol é r=1{,}5\times10^{11}\\ \mathrm{m}.
As perguntas são:
(a) Determinar os valores máximos (amplitudes) do campo elétrico e do campo magnético para uma onda senoidal que tenha essa intensidade I.
(b) Calcular a potência total irradiada pelo Sol (a partir da intensidade em r).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (com explicação calma):
  • O vetor de Poynting \mathbf{S} representa o fluxo instantâneo de energia de uma onda eletromagnética. Para uma onda plana em vácuo, a intensidade média (irradiância) I é o valor médio temporal de |\mathbf{S}|.
  • Para uma onda senoidal plana em vácuo, a relação entre intensidade média e amplitude do campo elétrico E_0 é I=\frac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^{2},onde:
    • I é a intensidade média em \mathrm{W/m^2},
    • c é a velocidade da luz no vácuo (aproximamos por c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (aproximamos por \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}),
    • E_0 é a amplitude (valor máximo) do campo elétrico em \mathrm{V/m}.
      Explicação rápida do fator 1/2: para uma senoide E(t)=E_0\sin(\omega t), a média de E^2 é E_0^2/2; por isso aparece o 1/2.
  • A relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda plana em vácuo é B_0=\frac{E_0}{c},onde B_0 é a amplitude do campo magnético em tesla.
  • Para a potência total irradiada por uma fonte aproximadamente isotrópica (como o Sol, assumido aqui), a intensidade medida a uma distância r é a potência total dividida pela área da superfície esférica de raio r. Assim: P_{\text{total}} = I\cdot 4\pi r^{2}.
Vou usar essas fórmulas para calcular E_0, B_0 e P_{\text{total}}.

Passo 3

Cálculo de E_0 a partir de I=\dfrac{1}{2}c\varepsilon_0 E_0^{2}.
  • Isolando E_0: E_0=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_0}}.
  • Substituindo os valores numéricos (todos entre \(... )): I=1{,}4\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2},\qquad c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\qquad \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Primeiro calcule o produto c\varepsilon_0: c\varepsilon_0=(3{,}00\times10^{8})(8{,}85\times10^{-12}) =2{,}655\times10^{-3}.(explicação: 3{,}00\cdot8{,}85=26{,}55 e as potências dão 10^{8-12}=10^{-4}, então 26{,}55\times10^{-4}=2{,}655\times10^{-3}.)
  • Agora calcule \dfrac{2I}{c\varepsilon_0}: 2I=2\cdot(1{,}4\times10^{3})=2{,}8\times10^{3}.
\frac{2I}{c\varepsilon_0}=\frac{2{,}8\times10^{3}}{2{,}655\times10^{-3}} =1{,}0553\times10^{6}.
(explicação: dividir por 2{,}655\times10^{-3} equivale a multiplicar por \approx376{,}9; então 2{,}8\times10^{3}\times376{,}9\approx1{,}0553\times10^{6}.)
  • Finalmente: E_0=\sqrt{1{,}0553\times10^{6}}\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.(Explicação: \sqrt{1{,}0553\times10^{6}}=\sqrt{1{,}0553}\times10^{3}, e \sqrt{1{,}0553}\approx1{,}027, então E_0\approx1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.)

Passo 4

Cálculo de B_0 usando B_0=E_0/c.
  • Substituindo: B_0=\frac{1{,}03\times10^{3}}{3{,}00\times10^{8}}\\ \mathrm{T}.
  • Realizando a divisão: B_0\approx3{,}43\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.(Explicação: 1{,}03\times10^{3}/3{,}00\times10^{8}=(1{,}03/3{,}00)\times10^{-5}\approx0{,}343\times10^{-5}=3{,}43\times10^{-6}.)
Observação útil (didática): se precisar do valor eficaz (rms) do campo elétrico, \,E_{\mathrm{rms}}=E_0/\sqrt{2}. Aqui pediram os valores máximos (amplitudes), então entregamos E_0 e B_0.

Passo 5

Cálculo da potência total irradiada pelo Sol assumindo emissão isotrópica:
  • Fórmula: P_{\text{total}}=I\cdot 4\pi r^{2}.
  • Calcule r^{2}: r^{2}=(1{,}5\times10^{11})^{2}=2{,}25\times10^{22}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcule 4\pi r^{2}: 4\pi r^{2}=4\pi\cdot 2{,}25\times10^{22} =9\pi\times10^{22}.(Explicação: 4\cdot2{,}25=9. Agora 9\pi\approx28{,}274.)
  • Agora multiplicando por I: P_{\text{total}}=1{,}4\times10^{3}\cdot(9\pi\times10^{22}) =1{,}4\cdot9\pi\times10^{25}.
1{,}4\cdot9\pi\approx12{,}6\pi\approx12{,}6\cdot3{,}1416\approx39{,}584.
Assim
P_{\text{total}}\approx3{,}9584\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
Arredondando convenientemente:
P_{\text{total}}\approx3{,}96\times10^{26}\\ \mathrm{W}.
(Isso está em excelente concordância com o valor conhecido da luminosidade solar.)

Resposta

\text{(a) }E_{\max}=1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{V/m},\quad B_{\max}=3{,}43\times10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
\text{(b) }P_{\text{Sol}}=3{,}96\times10^{26}\\ \mathrm{W}

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