1. Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} cuja matriz em relação a base canônica do \mathbb{R}^{3} é
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]
a. Determine T(x, y z) para todo (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
b. Verifique se T possui inversa. Caso exista, determine a inversa.
c. Considere a base \mathcal{B}=\{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)\}. Determine [T]_{\mathcal{B}}.

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Precisamos:
a. encontrar a fórmula de T(x,y,z);
b. verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar T^{-1};
c. calcular a matriz de T na base \mathcal B=\{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)\}.

Passo 2

Para a parte (a), basta multiplicar A pelo vetor (x,y,z). Em coordenadas:
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\\\ 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z\\\\ 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+z\\\ y+z\\\ x+y \end{pmatrix}.

Passo 3

Para a parte (b), calculamos o determinante de A. Por Sarrus ou expansão:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix} -0+\;1\cdot\det\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=-2\neq0.
Como \det(A)\neq0, T é invertível. Usando a matriz de cofatores e dividindo por \det(A), obtém‐se
A^{-1} =\frac1{\det(A)}\operatorname{adj}(A) =-\tfrac12 \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} =\tfrac12 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para a parte (c), primeiro aplicamos T a cada vetor da base \mathcal B:
b_1=(1,-1,0),\\ T(b_1)=(1+0,\,-1+0,\;1+(-1))=(1,-1,0)=b_1,
b_2=(1,1,-2),\\ T(b_2)=(1-2,\;1-2,\;1+1)=(-1,-1,2),
b_3=(1,1,1),\\ T(b_3)=(1+1,\;1+1,\;1+1)=(2,2,2).

Passo 5

Agora escrevemos cada T(b_i)\) em coordenadas de \(\mathcal B\). Para \(T(b_1)=b_1\) fica \((1,0,0)\). Para \(T(b_2)=(-1,-1,2)=c_1b_1+c_2b_2+c_3b_3\) resolve‐se \[\begin{cases} c_1+c_2+c_3=-1,\\\\ -c_1+c_2+c_3=-1,\\\\ -2c_2+c_3=2, \end{cases}
obtendo c_1=0\], \(c_2=-1, c_3=0.
Para T(b_3)=(2,2,2) análogo dá c_1=0, c_2=0, c_3=2.
Logo a matriz de T em \mathcal B tem colunas (1,0,0), (0,-1,0), (0,0,2).

Resposta

a) \displaystyle T(x,y,z)=(x+z,\;y+z,\;x+y).
b) \det(A)=-2\neq0, logo
A^{-1} =\tfrac12 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
c)
[T]_{\mathcal B} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

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