a. Determine T(x, y z) para todo (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}.
b. Verifique se T possui inversa. Caso exista, determine a inversa.
c. Considere a base \mathcal{B}=\{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)\}. Determine [T]_{\mathcal{B}}.
Passo 1
O enunciado define um operador linear T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 cuja matriz na base canônica é
Precisamos:
a. encontrar a fórmula de T(x,y,z);
b. verificar se T é invertível e, em caso afirmativo, achar T^{-1};
c. calcular a matriz de T na base \mathcal B=\{(1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)\}.
Passo 2
Para a parte (a), basta multiplicar A pelo vetor (x,y,z). Em coordenadas:
T(x,y,z) = A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z\\\\ 0\cdot x + 1\cdot y + 1\cdot z\\\\ 1\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+z\\\ y+z\\\ x+y \end{pmatrix}.
Passo 3
Para a parte (b), calculamos o determinante de A. Por Sarrus ou expansão:
Agora escrevemos cada T(b_i)\) em coordenadas de \(\mathcal B\).
Para \(T(b_1)=b_1\) fica \((1,0,0)\).
Para \(T(b_2)=(-1,-1,2)=c_1b_1+c_2b_2+c_3b_3\) resolve‐se
\[\begin{cases} c_1+c_2+c_3=-1,\\\\ -c_1+c_2+c_3=-1,\\\\ -2c_2+c_3=2, \end{cases}
obtendo c_1=0\], \(c_2=-1, c_3=0.
Para T(b_3)=(2,2,2) análogo dá c_1=0, c_2=0, c_3=2.
Logo a matriz de T em \mathcal B tem colunas (1,0,0), (0,-1,0), (0,0,2).