a. Determine T.
b. Seja S(x, y)=(2 y, x-y, x). Determine [S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
c. Calcule N(T), \operatorname{Im}(T), N(S), \operatorname{Im}(S) e verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem para estas transformações.
d. Verifique as relações posto x imagem e núcleo x nulidade para estas transformações.
Passo 1
O enunciado trata de duas transformações lineares T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e S\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, dadas por uma matriz de mudança de base e por uma fórmula explícita, respectivamente. Vamos usar coordenadas nas bases \mathcal A no domínio e \mathcal B no contradomínio para achar:
A expressão de T em coordenadas canônicas.
A matriz de S em \mathcal A e \mathcal B.
Núcleo e imagem de ambas e verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Verificar que posto =\dim\bigl(\mathrm{Im}\bigr) e nulidade =\dim\bigl(\ker\bigr).
Passo 2
Para achar T(x,y)\) em coordenadas canônicas, escrevemos \((x,y)\) em coordenadas de \(\mathcal A=\{a_1=(1,-1),\,a_2=(0,2)\}\).
Se \((x,y)=c_1a_1+c_2a_2\), então
\[\begin{cases} c_1 = x,\\\\ -\,c_1 +2c_2 = y \end{cases} \quad\implies\quad c_1 = x,\quad c_2 = \tfrac{x+y}{2}.
Como [T]_{\mathcal B}^{\mathcal A}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\], temos
\[[T(x,y)]_{\mathcal B} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]\frac{x+y}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[3pt] x+\tfrac{x+y}{2}\\[3pt] -\tfrac{x+y}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[3pt] \frac{3x+y}{2}\\[3pt] -\frac{x+y}{2} \end{pmatrix}.\]
Agora, escrevendo esse vetor na base \(\mathcal B=\{b_1=(1,0,-1),\,b_2=(0,1,2),\,b_3=(1,2,0)\}, calcula-se
Para T(x,y)=\bigl(\tfrac{x-y}{2},\tfrac{x-y}{2},2x+y\bigr), resolver T(x,y)=0 dá \,x-y=0 e 2x+y=0 \,\Rightarrow\,x=y=0.
Logo \ker T=\{(0,0)\}, \dim\ker T=0.
Imagens dos vetores canônicos ou de \mathcal A:
T(1,-1)=(1,1,1),\quad T(0,2)=(-1,-1,2)
são independentes, logo \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(1,1,1),(-1,-1,2)\}, \dim\mathrm{Im}\,T=2.
Para S(x,y)=(2y,\,x-y,\,x), resolver S(x,y)=0 dá y=0, x=0.
Logo \ker S=\{(0,0)\}, \dim\ker S=0.
Imagens de (1,0) e (0,1) são (0,1,1) e (2,-1,0), independentes, então \mathrm{Im}\,S=\mathrm{span}\{(0,1,1),(2,-1,0)\}, \dim\mathrm{Im}\,S=2.
Passo 5
Verificamos o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão):