1. Sejam \mathcal{A}=\{(1,-1),(0,2)\} e \mathcal{B}=\{(1,0,-1),(0,1,2),(1,20)\} e
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right]
a. Determine T.
b. Seja S(x, y)=(2 y, x-y, x). Determine [S]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}.
c. Calcule N(T), \operatorname{Im}(T), N(S), \operatorname{Im}(S) e verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem para estas transformações.
d. Verifique as relações posto x imagem e núcleo x nulidade para estas transformações.

Passo 1

O enunciado trata de duas transformações lineares T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 e S\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3, dadas por uma matriz de mudança de base e por uma fórmula explícita, respectivamente. Vamos usar coordenadas nas bases \mathcal A no domínio e \mathcal B no contradomínio para achar:
  1. A expressão de T em coordenadas canônicas.
  2. A matriz de S em \mathcal A e \mathcal B.
  3. Núcleo e imagem de ambas e verificar o Teorema do Núcleo e da Imagem.
  4. Verificar que posto =\dim\bigl(\mathrm{Im}\bigr) e nulidade =\dim\bigl(\ker\bigr).

Passo 2

Para achar T(x,y)\) em coordenadas canônicas, escrevemos \((x,y)\) em coordenadas de \(\mathcal A=\{a_1=(1,-1),\,a_2=(0,2)\}\). Se \((x,y)=c_1a_1+c_2a_2\), então \[\begin{cases} c_1 = x,\\\\ -\,c_1 +2c_2 = y \end{cases} \quad\implies\quad c_1 = x,\quad c_2 = \tfrac{x+y}{2}.
Como [T]_{\mathcal B}^{\mathcal A}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\], temos \[[T(x,y)]_{\mathcal B} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\\\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]\frac{x+y}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[3pt] x+\tfrac{x+y}{2}\\[3pt] -\tfrac{x+y}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\[3pt] \frac{3x+y}{2}\\[3pt] -\frac{x+y}{2} \end{pmatrix}.\] Agora, escrevendo esse vetor na base \(\mathcal B=\{b_1=(1,0,-1),\,b_2=(0,1,2),\,b_3=(1,2,0)\}, calcula-se
T(x,y) =\;x\,b_1 + \frac{3x+y}{2}\,b_2 \;-\;\frac{x+y}{2}\,b_3 =\Bigl(\tfrac{x-y}{2},\;\tfrac{x-y}{2},\;2x+y\Bigr).]

Passo 3

Para achar [S]_{\mathcal B}^{\mathcal A}, calculamos S nos vetores de \mathcal A e escrevemos em \mathcal B.
  1. S(a_1)=S(1,-1) = (2\cdot(-1),\,1-(-1),\,1)=(-2,2,1).
    Resolvendo
(-2,2,1)=\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3
obtém-se \alpha=-\tfrac{11}{3}, \beta=-\tfrac{4}{3}, \gamma=\tfrac{5}{3}.
  1. S(a_2)=S(0,2) = (4,-2,0).
    Resolvendo
(4,-2,0)=\alpha\,b_1+\beta\,b_2+\gamma\,b_3
obtém-se \alpha=\tfrac{20}{3}, \beta=\tfrac{10}{3}, \gamma=-\tfrac{8}{3}.
Portanto
[S]_{\mathcal B}^{\mathcal A} =\begin{pmatrix} -\tfrac{11}{3} & \tfrac{20}{3}\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & \tfrac{10}{3}\\[4pt] \tfrac{5}{3} & -\tfrac{8}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos núcleo e imagem de cada transformação:
Para T(x,y)=\bigl(\tfrac{x-y}{2},\tfrac{x-y}{2},2x+y\bigr), resolver T(x,y)=0 \,x-y=0 e 2x+y=0 \,\Rightarrow\,x=y=0.
Logo \ker T=\{(0,0)\}, \dim\ker T=0.
Imagens dos vetores canônicos ou de \mathcal A:
T(1,-1)=(1,1,1),\quad T(0,2)=(-1,-1,2)
são independentes, logo \mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(1,1,1),(-1,-1,2)\}, \dim\mathrm{Im}\,T=2.
Para S(x,y)=(2y,\,x-y,\,x), resolver S(x,y)=0 y=0, x=0.
Logo \ker S=\{(0,0)\}, \dim\ker S=0.
Imagens de (1,0) e (0,1) são (0,1,1) e (2,-1,0), independentes, então \mathrm{Im}\,S=\mathrm{span}\{(0,1,1),(2,-1,0)\}, \dim\mathrm{Im}\,S=2.

Passo 5

Verificamos o Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão):
\dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im}\,T)=0+2=2=\dim(\mathbb{R}^2) \quad\text{e}\quad \dim(\ker S)+\dim(\mathrm{Im}\,S)=0+2=2=\dim(\mathbb{R}^2).
Também confirmamos que posto =\dim(\mathrm{Im}) e nulidade =\dim(\ker) em cada caso.

Resposta

a) T(x,y)=\displaystyle\Bigl(\tfrac{x-y}{2},\,\tfrac{x-y}{2},\,2x+y\Bigr).
b) \displaystyle [S]_{\mathcal B}^{\mathcal A} =\begin{pmatrix} -\tfrac{11}{3} & \tfrac{20}{3}\\[4pt] -\tfrac{4}{3} & \tfrac{10}{3}\\[4pt] \tfrac{5}{3} & -\tfrac{8}{3} \end{pmatrix}.
c) \ker T=\{0\},\;\mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{(1,1,1),(-1,-1,2)\},\;\ker S=\{0\},\;\mathrm{Im}\,S=\mathrm{span}\{(0,1,1),(2,-1,0)\}.
d) Em ambos, posto =2, nulidade =0, e \dim\ker+\dim\mathrm{Im}=2=\dim\mathbb{R}^2.]

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