Considere o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(2 x+y, y+2 z, 2 y-z)
Encontre a matriz A=[T] relativa à base canônica.

Passo 1

O enunciado fornece um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(2x+y,\;y+2z,\;2y-z).
A pergunta é: encontrar a matriz A=[T] de T relativa à base canônica de \mathbb{R}^3.
Informações relevantes: a regra de T (a fórmula que dá T(x,y,z)) e que a base pedida é a base canônica usual.

Passo 2

Conceito essencial (explicadinho): a base canônica de \mathbb{R}^3 é formada pelos vetores
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
A definição prática para montar a matriz de um operador linear na base canônica é: cada coluna da matriz A é a coordenada do vetor T(e_i) escrita na base canônica. Ou seja, a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3). Isso vale porque qualquer vetor v em coordenadas canônicas é uma combinação linear de e_1,e_2,e_3 e a ação de T se traduz em multiplicação matricial com essas colunas.

Passo 3

Calculando T(e_1). Substituímos (x,y,z)=(1,0,0) na definição de T:
T(1,0,0)=(2\cdot 1 + 0,\;0 + 2\cdot 0,\;2\cdot 0 - 0).
Fazendo as contas (passo a passo):
2\cdot 1 + 0 = 2,\qquad 0 + 2\cdot 0 = 0,\qquad 2\cdot 0 - 0 = 0.
Logo
T(e_1)=T(1,0,0)=(2,0,0).

Passo 4

Calculando T(e_2). Substituímos (x,y,z)=(0,1,0):
T(0,1,0)=(2\cdot 0 + 1,\;1 + 2\cdot 0,\;2\cdot 1 - 0).
Fazendo as contas:
2\cdot 0 + 1 = 1,\qquad 1 + 2\cdot 0 = 1,\qquad 2\cdot 1 - 0 = 2.
Logo
T(e_2)=T(0,1,0)=(1,1,2).

Passo 5

Calculando T(e_3). Substituímos (x,y,z)=(0,0,1):
T(0,0,1)=(2\cdot 0 + 0,\;0 + 2\cdot 1,\;2\cdot 0 - 1).
Fazendo as contas:
2\cdot 0 + 0 = 0,\qquad 0 + 2\cdot 1 = 2,\qquad 2\cdot 0 - 1 = -1.
Logo
T(e_3)=T(0,0,1)=(0,2,-1).

Passo 6

Agora sabemos as colunas da matriz A na base canônica: são as coordenadas de T(e_1),T(e_2),T(e_3), respectivamente. Portanto as colunas (em ordem) são (2,0,0)^\top, (1,1,2)^\top e (0,2,-1)^\top. A matriz A é formada por essas colunas colocadas lado a lado.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados