Considere o operador linear
dado por
Encontre a matriz
relativa à base canônica.
Passo 1
O enunciado fornece um operador linear
definido por
A pergunta é: encontrar a matriz
de
relativa à base canônica de
.
Informações relevantes: a regra de (a fórmula que dá
) e que a base pedida é a base canônica usual.
Informações relevantes: a regra de
Passo 2
Conceito essencial (explicadinho): a base canônica de
é formada pelos vetores
A definição prática para montar a matriz de um operador linear na base canônica é: cada coluna da matriz
é a coordenada do vetor
escrita na base canônica. Ou seja, a primeira coluna é
, a segunda é
e a terceira é
. Isso vale porque qualquer vetor
em coordenadas canônicas é uma combinação linear de
e a ação de
se traduz em multiplicação matricial com essas colunas.
Passo 3
Calculando
. Substituímos
na definição de
:
Fazendo as contas (passo a passo):
Logo
Passo 4
Calculando
. Substituímos
:
Fazendo as contas:
Logo
Passo 5
Calculando
. Substituímos
:
Fazendo as contas:
Logo
Passo 6
Agora sabemos as colunas da matriz
na base canônica: são as coordenadas de
, respectivamente. Portanto as colunas (em ordem) são
,
e
. A matriz
é formada por essas colunas colocadas lado a lado.