Seja E um espaço vetorial com produto interno. Prove que, para quaisquer u, v \in E, |\langle u, v \rangle| \leq ||u|| \cdot ||v||
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos um espaço vetorial E equipado com um produto interno \langle \cdot,\cdot\rangle.\n
São dados dois vetores arbitrários u,v\in E.\n
O que precisamos provar é a desigualdade\n
|\langle u,v\rangle| \le \|u\| \cdot \|v\|.\n
Informações relevantes do enunciado que podemos usar sem resolver ainda:\n
A norma associada ao produto interno é definida por \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} para todo x\in E.\n
O produto interno satisfaz \langle x,x\rangle \ge 0 (positividade) e \langle x,x\rangle = 0 só se x=0. Também vale a conjugação simétrica \langle v,u\rangle = \overline{\langle u,v\rangle} e a sesquilinearidade (linearidade num argumento e conjugada no outro), que usaremos ao expandir expressões do tipo \langle a x + b y, c z + d w\rangle.\n
Passo 2
Caso trivial: se v=0 ou u=0 a desigualdade é imediata.\n
Se v=0 então \langle u,v\rangle=\langle u,0\rangle=0 e \|v\|=0, logo |\langle u,v\rangle|=0 \le \|u\|\cdot 0.\n
Mesma coisa se u=0.\n
A partir de agora assumimos v\neq 0 (caso v=0 já resolvido).
Passo 3
Idéia do método (de forma amigável): vou usar a positividade da norma ao considerar o vetor u-\alpha v com um \alpha\in\mathbb{C} (ou \mathbb{R}, se o espaço for real) escolhido de forma conveniente. Como \|u-\alpha v\|^2=\langle u-\alpha v,\,u-\alpha v\rangle \ge 0 para todo \alpha, escolho um \alpha que torne a desigualdade simples de manipular e que elimine termos cross, permitindo isolar |\langle u,v\rangle|^2.
Passo 4
Definição do \alpha e justificativa:\n
Como v\neq 0 podemos definir
\alpha := \frac{\langle v,u\rangle}{\|v\|^2}.
Esse \alpha é bem definido porque \|v\|^2=\langle v,v\rangle>0. A escolha é intuitiva: ela “projeta” u sobre v e costuma cancelar termos ao expandir \|u-\alpha v\|^2.
Passo 5
Expansão de \|u-\alpha v\|^2 usando as propriedades do produto interno:\n
Usando a linearidade no primeiro argumento e conjugada no segundo (a forma padrão de sesquilinearidade), para quaisquer escalares a,b,c,d temos
\langle a x + b y,\, c z + d w\rangle = a\overline{c}\langle x,z\rangle + a\overline{d}\langle x,w\rangle + b\overline{c}\langle y,z\rangle + b\overline{d}\langle y,w\rangle.
Aplicando isso com a=1, b=-\alpha, c=1, d=-\alpha, x=y=u, z=w=v (mais precisamente com x=u,y=v,z=u,w=v) obtemos
Concluir a desigualdade original tomando raiz não negativa:\n
Como ambos os lados são não negativos, tomando a raiz quadrada chegamos a
|\langle u,v\rangle| \le \|u\| \cdot \|v\|.
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar. (Observação extra para motivação: a igualdade ocorre quando u e v são linearmente dependentes, i.e., quando existe \lambda tal que u=\lambda v.)