Considere o operador linear
definido por
(b) Encontre uma base de cada autoespaço associado a um autovalor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
definido por
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma base para cada autoespaço associado a um autovalor de
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente lidando com autovalores e autoespaços de operadores lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores de
e, em seguida, determinar os vetores que formam os autoespaços correspondentes a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são valores escalares
que satisfazem a equação
para algum vetor não nulo
. Para encontrar esses
, vamos resolver o determinante da matriz
igual a zero, onde
é a matriz identidade.
A matriz de
é
Então,
fica
Agora, calculamos o determinante:
Vamos expandir isso:
Então,
Agora, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Para isso, podemos fatorar:
Portanto, os autovalores são
e
.
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar o autoespaço para cada um deles. O autoespaço associado a um autovalor
é o conjunto de todos os vetores
tais que
Vamos fazer isso para cada
.
Passo 4
Para
:
Substituímos
na matriz
:
Queremos resolver
, ou seja:
Essas duas equações são iguais, então temos uma única equação:
Podemos escolher
, onde
é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para
é gerado pelo vetor
. Portanto, uma base para esse autoespaço é
.
Passo 5
Para
:
Substituímos
na matriz
:
Queremos resolver
, ou seja:
A segunda equação nos dá
. Substituindo na primeira:
Então, qualquer vetor onde
satisfaz as equações. Podemos escolher
, onde
é um parâmetro real. Então:
Isso significa que o autoespaço para
é gerado pelo vetor
. Portanto, uma base para esse autoespaço é
.
Resposta
Uma base para cada autoespaço associado aos autovalores de
é:
- Para
:
- Para
: