Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
© Determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor de T.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um operador linear T(x, y, z) = (3x - y + z, , 7x - 5y + z, , 6x - 6y + 2z) definido por
O que a gente precisa fazer é encontrar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor desse operador. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e depois determinar as multiplicidades.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear A = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2 como uma matriz. A matriz associada a é formada pelos coeficientes de e em cada componente da transformação:
Essa matriz vai nos ajudar a encontrar os autovalores e as multiplicidades que precisamos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de det(A - lambda I) = 0 , que é dado por:
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda
Onde det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-5 - lambda)(2 - lambda) - (-6)(1)] + 1[7(2 - lambda) - 6(1)] + 1[7(-6) - (-5 - lambda)(6)] é a matriz identidade e representa os autovalores. Então, temos:
Calculando o determinante dessa matriz:
Resolvendo isso, encontramos o polinômio característico.

Passo 4

Resolvendo o polinômio característico obtido no passo anterior, encontramos os autovalores de . Supondo que os autovalores sejam , cada um deles terá uma multiplicidade algébrica, que é o número de vezes que o autovalor aparece como raiz do polinômio característico.

Passo 5

Depois de encontrar os autovalores e suas multiplicidades algébricas, vamos determinar as multiplicidades geométricas. A multiplicidade geométrica de um autovalor é a dimensão do espaço das soluções da equação , ou seja, o número de vetores próprios linearmente independentes associados a esse autovalor.

Passo 6

Com todas as informações acima, podemos listar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado. A multiplicidade geométrica não pode ser maior que a multiplicidade algébrica, e se a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica para todos os autovalores, a matriz é diagonalizável.

Resposta

Após os cálculos, os autovalores de e suas multiplicidades são:
  • Autovalor com multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1.
  • Autovalor com multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1.

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