Considere o operador linear 
  definido por 
 . Encontre os autovalores e autovetores de 
  em relação à Base Canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores do operador linear 
  definido por 
  na Base Canônica. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos matrizes, transformações lineares, e essas coisas de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar a definição de autovalores e autovetores e calcular o determinante de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor 
  é um número tal que, quando multiplicamos um vetor por esse número e depois aplicamos a transformação 
 , o resultado é o mesmo que aplicar 
  primeiro e depois multiplicar pelo número. Formalmente, 
 . O vetor 
  é o autovetor correspondente a 
 .
Passo 3
Vamos representar o operador 
  como uma matriz na Base Canônica. A matriz correspondente a 
  é:
Isso porque 
 .
Passo 4
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica que vem de 
 , onde 
  é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
O determinante dessa matriz será:
Passo 5
Vamos calcular esse determinante:
Então, a equação característica é:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores 
 . Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, temos dois autovalores:
Passo 7
Agora que temos os autovalores 
  e 
 , vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada 
 , resolvemos 
 .
Passo 8
Para 
 :
Resolvendo 
 , temos:
Podemos escolher 
 , então 
 . Assim, um autovetor para 
  é 
 .
Passo 9
Para 
 :
Resolvendo 
 , temos:
Podemos escolher 
 , então 
 . Assim, um autovetor para 
  é 
 .
Resposta
Os autovalores de 
  são 
  com o autovetor 
  e 
  com o autovetor 
 .