Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+2 y+z). Determine o vetor u in R^3 tal que T(u)=(1,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem um operador linear definido por . A questão pede para encontrar um vetor tal que . Para isso, vamos precisar usar sistemas lineares e entender como resolver equações com várias incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o vetor T(a, b, c) = (a + 2b - 3c, ; 2a + 5b - 4c, ; a + 2b + c) = (1, 1, -1) de a + 2b - 3c = 1 2a + 5b - 4c = 1 a + 2b + c = -1 . Então, temos:
Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Vou escolher resolver pela eliminação. Vamos pegar a primeira e a terceira equação para eliminar (a + 2b - 3c) - (a + 2b + c) = 1 - (-1) -4c = 2 c = -12 .
Subtraindo a terceira equação da primeira:

Passo 4

Agora que encontramos a + 2b + (-12) = -1 a + 2b = -12 , vamos substituir esse valor na terceira equação para encontrar e .
Substituindo na terceira equação:

Passo 5

Vamos usar agora a primeira equação para substituir a = 1 - 2b + 3c a = 1 - 2b + 3(-12) a = 1 - 2b - 32 a = -12 - 2b em termos de :
Da primeira equação:

Passo 6

Substituindo -12 - 2b + 2b = -12 -12 = -12 na equação :
Isso nos mostra que as variáveis e estão relacionadas de forma consistente, e precisamos encontrar os valores específicos usando a segunda equação do sistema original.

Passo 7

Vamos usar a segunda equação:
2a + 5b - 4c = 1
Substituindo 2(-12 - 2b) + 5b - 4(-12) = 1 -1 - 4b + 5b + 2 = 1 (-1 + 2) + b = 1 1 + b = 1 b = 0 e :

Passo 8

Agora que sabemos que a = -12 - 2(0) a = -12 , podemos encontrar usando :

Resposta

O vetor u = ( -12,; 0,; -12 ) que satisfaz é:

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