Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
(M3(R) : espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 3 de números reais)
a) W=A=(ai j) in M3(R) mid a11+a22+a33=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto que consiste em todas as matrizes de números reais onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual a zero, ou seja, . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais.
Para isso, precisamos lembrar que, para ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Verificando se o vetor zero está em 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 :
O vetor zero em a11 + a22 + a33 = 0 + 0 + 0 = 0 é a matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se essa matriz pertence a . Calculando a soma dos elementos da diagonal principal:
Como a soma é igual a zero, a matriz zero está em .

Passo 3

Verificando se a11 + a22 + a33 = 0 e b11 + b22 + b33 = 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer A + B = a11 + b11 & a12 + b12 & a13 + b13 a21 + b21 & a22 + b22 & a23 + b23 a31 + b31 & a32 + b32 & a33 + b33 e (a11 + b11) + (a22 + b22) + (a33 + b33) = (a11 + a22 + a33) + (b11 + b22 + b33) = 0 + 0 = 0 em . Isso significa que:
Agora, somamos e :
Vamos calcular a soma dos elementos da diagonal principal de :
Portanto, também pertence a , o que mostra que é fechado sob adição.

Passo 4

Verificando se a11 + a22 + a33 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz cA = c a11 & c a12 & c a13 c a21 & c a22 & c a23 c a31 & c a32 & c a33 em c a11 + c a22 + c a33 = c(a11 + a22 + a33) = c times 0 = 0 e um escalar qualquer. Sabemos que:
Agora, multiplicamos por :
Calculando a soma dos elementos da diagonal principal de :
Assim, também pertence a , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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