Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial de . : espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 3 de números reais)
a) ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto que consiste em todas as matrizes de números reais onde a soma dos elementos da diagonal principal é igual a zero, ou seja, . Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais.
Para isso, precisamos lembrar que, para ser um subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição.
É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Verificando se o vetor zero está em :
O vetor zero em é a matriz onde todos os elementos são zero:
Vamos verificar se essa matriz pertence a . Calculando a soma dos elementos da diagonal principal:
Como a soma é igual a zero, a matriz zero está em .
Passo 3
Verificando se a11 + a22 + a33 = 0 e b11 + b22 + b33 = 0 é fechado sob adição:
Vamos calcular a soma dos elementos da diagonal principal de :
Portanto, também pertence a , o que mostra que é fechado sob adição.
Passo 4
Verificando se a11 + a22 + a33 = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz cA = c a11 & c a12 & c a13 c a21 & c a22 & c a23 c a31 & c a32 & c a33 em c a11 + c a22 + c a33 = c(a11 + a22 + a33) = c times 0 = 0 e um escalar qualquer. Sabemos que:
Agora, multiplicamos por :
Calculando a soma dos elementos da diagonal principal de :
Assim, também pertence a , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .