1. (a) Considere o operador sobre
    \mathbb{R}^{2} de reflexão com relação a uma reta
    y=m x.
    (b) Considere o operador sobre
    \mathbb{R}^{2} de reflexão com relação ao origem ( 0,0 ) do sistema cartesiano.
    (c) Considere o operador sobre
    \mathbb{R}^{2} de rotação no sentido anti-horário com ângulo
    \theta.
    (d) Considere o operador sobre
    \mathbb{R}^{3} de rotação em torno do eixo
    x, no sentido positivo, com ângulo
    \theta.
    Analize em que casos é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar, sobre o corpo real, a diagonalizabilidade de quatro operadores lineares:
(a) reflexão em \mathbb{R}^2 em torno da reta y=mx,
(b) reflexão em \mathbb{R}^2 em torno da origem,
(c) rotação em \mathbb{R}^2 no sentido anti-horário de ângulo \theta,
(d) rotação em \mathbb{R}^3 ao redor do eixo x de ângulo \theta.
Vamos usar o fato de que, sobre \mathbb{R}, um operador é diagonalizável se e só se existir uma base de \mathbb{R}^n formada por vetores-próprios, o que exige ter valores próprios reais e multiplicidade geométrica igual à algébrica.

Passo 2

Definição rápida: um operador linear T em \mathbb{R}^n é diagonalizável se existem n autovetores linearmente independentes, equivalendo a escrever a matriz de T numa base adequada como \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n). Sobre \mathbb{R}, cada \lambda_i deve ser real e cada espaço próprio deve ter dimensão igual à multiplicidade algébrica de \lambda_i.

Passo 3

Análise de (a): reflexão em torno de y=mx.
1. Os vetores paralelos à reta y=mx ficam fixos, logo têm autovalor 1.
2. Os vetores perpendiculares à reta sofrem troca de sinal, logo têm autovalor -1.
Esses dois autovalores são distintos e cada um gera um espaço próprio unidimensional, totalizando 2 vetores-próprios LI em \mathbb{R}^2. Assim, essa reflexão é diagonalizável.

Passo 4

Análise de (b): reflexão em torno da origem em \mathbb{R}^2.
Esse operador envia v\mapsto -v, ou seja, é -I.
O único autovalor é -1 com multiplicidade algébrica 2, mas o espaço próprio \ker(-I+I)=\mathbb{R}^2 também tem dimensão 2. Logo há 2 autovetores LI e o operador é diagonalizável (é já a matriz -I).

Passo 5

Análise de (c): rotação em \mathbb{R}^2 de ângulo \theta.
A matriz dessa rotação, na base canônica, tem polinômio característico
\lambda^2 -2\cos\theta\,\lambda +1=0,
cujos autovalores são \lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta.
Sobre \mathbb{R}:
  • Se \theta\not\equiv 0\pmod\pi, esses autovalores são complexos não reais \Rightarrow não 2 autovetores reais \Rightarrow não é diagonalizável.
  • Se \theta\equiv 0\pmod{2\pi}, a rotação é I (autovalor 1, mult. algébrica 2 e espaço próprio de dimensão 2) \Rightarrow diagonalizável.
  • Se \theta\equiv \pi\pmod{2\pi}, a rotação é -I \Rightarrow autovalor -1 de mult. 2 com espaço próprio de dimensão 2\Rightarrow diagonalizável.

Passo 6

Análise de (d): rotação em \mathbb{R}^3 ao redor do eixo x de ângulo \theta.
Na base \{e_x,e_y,e_z\} a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Os autovalores são 1 (direção do eixo x) e \cos\theta\pm i\sin\theta (rotação no plano yz).
Sobre \mathbb{R}:
  • Se \theta\not\equiv 0,\pi\pmod{2\pi}, só aparece um autovalor real 1 com espaço próprio unidimensional \Rightarrow não chega a 3 autovetores reais \Rightarrow não é diagonalizável.
  • Se \theta\equiv 0\pmod{2\pi}, a rotação é I_3 \Rightarrow autovalor 1 de mult. 3 e espaço próprio dimensão 3\Rightarrow diagonalizável.
  • Se \theta\equiv \pi\pmod{2\pi}, a matriz torna-se \operatorname{diag}(1,-1,-1) \Rightarrow autovalores 1 (mult. 1) e -1 (mult. 2), com espaços próprios de dimensões correspondentes \Rightarrow diagonalizável.

Resposta

(a) Diagonalizável.
(b) Diagonalizável.
(c) Diagonalizável sobre \mathbb{R} somente se \theta\equiv 0\pmod\pi; caso contrário, não.
(d) Diagonalizável sobre \mathbb{R} somente se \theta\equiv 0 ou \pi\pmod{2\pi}; caso contrário, não.

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