(e) Se A é uma matriz invertível e diagonalizável, então A^{-1} também é diagonalizável.
(f) Se A é uma matriz diagonalizável, então A^{t} também é diagonalizável.
(g) Se todo autovalor de um operador ou matriz A tem multiplicidade geométrica 1, então A é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para analisar três propriedades relacionadas à diagonalização de matrizes ou operadores lineares:
(e) Se A é invertível e diagonalizável, então A^{-1} também é diagonalizável.
(f) Se A é diagonalizável, então A^{t} também é diagonalizável.
(g) Se todo autovalor de A tem multiplicidade geométrica igual a 1, então A é diagonalizável.
O conteúdo envolvido é parecido: uso de semelhança de matrizes e relação com diagonalização, além de noções de multiplicidade geométrica de autovalores.
Passo 2
Prova direta de (e):
Suponha que A seja invertível e diagonalizável, ou seja, existe matriz invertível S e diagonal D tais que
A = S\,D\,S^{-1}.
Como A é invertível, D não tem entradas zero na diagonal, logo D é inversível e
A^{-1} = (S\,D\,S^{-1})^{-1} = S\,D^{-1}\,S^{-1}.
Como D^{-1} é também uma matriz diagonal, concluímos que A^{-1} é diagonalizável via a mesma base S.
O único autovalor é \lambda, cuja multiplicidade geométrica é 1 (pois o espaço próprio é gerado por \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}). Mas J não é diagonalizável (não há duas direções próprias independentes). Logo, ter multiplicidade geométrica 1 para cada autovalor não garante diagonalização.