Considere o operador T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por T(x, y)=(x+y, x-y, 2 x).
Determine:
a. Verifique se essa transformação é linear.
b. \quad T(\boldsymbol{v}) sendo \boldsymbol{v}=(2,-5).
c. \quad T(u) sendo \mathrm{u}=(-1,7).
d. Obtenha o núcleo de T: N(T).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y)=(x+y,\;x-y,\;2x).
Perguntas a responder:
a. Verificar se T é linear (ou seja, checar propriedades da linearidade).
b. Calcular T(\boldsymbol{v}) para \boldsymbol{v}=(2,-5).
c. Calcular T(\mathrm{u}) para \mathrm{u}=(-1,7).
d. Determinar o núcleo de T, isto é N(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid T(x,y)=(0,0,0)\}.

Passo 2

O que significa “ser linear”? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
  1. Aditividade:
T\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2).
  1. Homogeneidade (multiplicação por escalar):
T\big(c\,(x_1,y_1)\big)=c\,T(x_1,y_1).
Vou checar essas propriedades diretamente com a fórmula dada para T.

Passo 3

Checagem da aditividade. Tome (x_1,y_1) e (x_2,y_2). Primeiro calcule o somatório dentro de T:
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T a essa soma:
T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;2(x_1+x_2)\big).
Agora distribua os termos:
T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;2x_1+2x_2\big).
Por outro lado,
T(x_1,y_1)=(x_1+y_1,\;x_1-y_1,\;2x_1),
T(x_2,y_2)=(x_2+y_2,\;x_2-y_2,\;2x_2).
Somando componente a componente:
T(x_1,y_1)+T(x_2,y_2)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(x_1-y_1)+(x_2-y_2),\;2x_1+2x_2\big).
Comparando as duas expressões vemos que são idênticas. Logo a propriedade de aditividade vale.

Passo 4

Checagem da homogeneidade. Tome c\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule c vezes o vetor:
c\,(x,y)=(cx,\;cy).
Aplique T:
T(cx,cy)=(cx+cy,\;cx-cy,\;2cx).
Factorizando c em cada componente:
T(cx,cy)=c\,(x+y,\;x-y,\;2x)=c\,T(x,y).
Portanto a homogeneidade também vale.

Passo 5

Conclusão sobre linearidade. Como verificamos explicitamente aditividade e homogeneidade, T satisfaz as duas propriedades definidoras de uma transformação linear. Uma observação útil para prova rápida na prova: T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz A (colunas são as imagens dos vetores da base canônica), por exemplo
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix},
e então T(x,y)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}. Toda transformação dada por multiplicação por matriz é linear — isto é outro jeito de ver a linearidade.]

Passo 6

Cálculo de T(\boldsymbol{v}) com \boldsymbol{v}=(2,-5). Substitua x=2 e y=-5 na definição:
x+y=2+(-5)=-3,
x-y=2-(-5)=2+5=7,
2x=2\cdot 2=4.
Logo
T(2,-5)=(-3,\;7,\;4).

Passo 7

Cálculo de T(\mathrm{u}) com \mathrm{u}=(-1,7). Substitua x=-1 e y=7:
x+y=-1+7=6,
x-y=-1-7=-8,
2x=2\cdot(-1)=-2.
Portanto
T(-1,7)=(6,\;-8,\;-2).

Passo 8

Determinar o núcleo N(T)\). Por definição, \[N(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
Isto dá o sistema de equações (cada componente igual a zero):
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x-y=0,\\[4pt] 2x=0. \end{cases}
Da terceira equação 2x=0\] segue \(x=0. Substituindo em x+y=0 obtemos 0+y=0, logo y=0. A segunda equação também é satisfeita por x=0,y=0. Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Assim o núcleo é o conjunto que contém só o vetor zero.]

Resposta

a. Sim, T é linear.
b. T(2,-5)=(-3,\;7,\;4).
c. T(-1,7)=(6,\;-8,\;-2).
d. N(T)=\{(0,0)\}.

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