Considere os vetores \boldsymbol{v}_{1}=(0,0,2), \boldsymbol{v}_{2}=(1,0,1) e \boldsymbol{v}_{3}=(3,0,0). Verifique se é possível escrever o vetor \boldsymbol{v}=(5,0,-8) como uma combinação linear desses vetores. Caso seja possível, apresente uma opção.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{v}_{1}=(0,0,2), \boldsymbol{v}_{2}=(1,0,1), \boldsymbol{v}_{3}=(3,0,0) e pede para verificar se o vetor \boldsymbol{v}=(5,0,-8) pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
Informações importantes fornecidas:
\boldsymbol{v}_1=(0,0,2),\qquad \boldsymbol{v}_2=(1,0,1),\qquad \boldsymbol{v}_3=(3,0,0),
\boldsymbol{v}=(5,0,-8).
Pergunta clara: existe escalares (reais) a,b,c tais que
a\boldsymbol{v}_1+b\boldsymbol{v}_2+c\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v}?

Passo 2

O que significa escrever \boldsymbol{v} como combinação linear de \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3: existem números reais a,b,c tais que a soma ponderada desses vetores dá \boldsymbol{v}. Formalmente vamos colocar
a\,(0,0,2)+b\,(1,0,1)+c\,(3,0,0)=(5,0,-8).
Aqui a,b,c são as incógnitas que queremos encontrar. Vou transformar essa igualdade de vetores em um sistema de equações escalares componente a componente.

Passo 3

Comparando as componentes x,y,z das duas expressões obtemos três equações escalares. Escrevendo componente a componente:
  • componente x: 0\cdot a + 1\cdot b + 3\cdot c = 5. Ou seja,
b+3c=5.
  • componente y: 0\cdot a + 0\cdot b + 0\cdot c = 0. Ou seja,
0=0,
que é uma igualdade sempre verdadeira (não impõe condição extra).
  • componente z: 2\cdot a + 1\cdot b + 0\cdot c = -8. Ou seja,
2a+b=-8.
Portanto o sistema relevante é
\begin{cases} b+3c=5,\\[4pt] 2a+b=-8. \end{cases}]

Passo 4

Observação sobre o sistema: há três incógnitas a,b,c e apenas duas equações independentes (a equação para a componente y não dá informação). Isso normalmente significa que o sistema tem infinitas soluções (grau de liberdade 1) — podemos escolher um parâmetro livre (por exemplo c) e expressar a e b em termos desse parâmetro. Vou fazer isso passo a passo.

Passo 5

Da primeira equação isolamos b:
b=5-3c.
Agora substituímos esse b na segunda equação 2a+b=-8:
2a+(5-3c)=-8.
Simplifico essa equação:
2a-3c=-8-5,
2a-3c=-13.

Passo 6

Isolando a obtemos
2a=3c-13
e portanto
a=\frac{3c-13}{2}.
Então, para qualquer escolha de c (parâmetro livre), temos
b=5-3c,\qquad a=\frac{3c-13}{2}.
Isso confirma que existem (infinitas) soluções — então sim, é possível escrever \boldsymbol{v} como combinação linear dos vetores dados.

Passo 7

Para apresentar uma opção concreta, escolho um valor simples para c que torne a um número inteiro (isso deixa a conta mais bonita na hora da prova). Se escolhermos c=1 obtemos:
a=\frac{3\cdot 1 -13}{2}=\frac{-10}{2}=-5,
b=5-3\cdot 1=2.
Verificação rápida (fazer sempre na prova para evitar erro): calcular as componentes da combinação com a=-5, b=2, c=1.
  • componente x: 0\cdot(-5)+1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 2+3=5 — bate com 5.
  • componente y: 0+0+0=0 — bate com 0.
  • componente z: 2\cdot(-5)+1\cdot 2 + 0\cdot 1 = -10+2=-8 — bate com -8.
Tudo confere, logo a escolha é válida.

Resposta

\boldsymbol{v} = -5\boldsymbol{v}_1 + 2\boldsymbol{v}_2 + 1\boldsymbol{v}_3

Exercícios relacionados