Considere o oscilador harmônico quântico, descrito pelo operador Hamiltoniano dado por \widehat{H}=\widehat{T}+\widehat{V}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}}+2 \pi^{2} v^{2} m x^{2}. Aplicando o método de solução em série (método de Frobenius), determine a função de onda \psi que é solução da equação de Schrödinger -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+ 2 \pi^{2} v^{2} m x^{2} \psi=E \psi.
Sugestão: suponha uma solução na forma \psi(x)=e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}} f(x), \operatorname{com} f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}, e \alpha= \frac{2 \pi v m}{\hbar}.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de Schrödinger
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} \;+\;2\pi^{2}v^{2}m\,x^{2}\,\psi \;=\;E\,\psi
para o oscilador harmônico quântico, usando o método de Frobenius. Vamos usar o ansatz
\psi(x)=e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}}\,f(x), \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}, \quad \alpha=\frac{2\pi v\,m}{\hbar},
de modo a transformar a equação em uma para f(x) e obter uma relação de recorrência entre os c_{n}.

Passo 2

Calculamos as derivadas de \psi:
\psi'=e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}}\bigl(f'-\alpha x f\bigr),
\psi''=e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}}\bigl(f''-2\alpha x f'+(\alpha^{2}x^{2}-\alpha)f\bigr).
Substituindo em
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''+m\omega^{2}x^{2}\psi=E\psi,
com \omega=2\pi v, e dividindo por e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}}, obtemos a equação para f:
f''-2\alpha x f'+\Bigl(\frac{2mE}{\hbar^{2}}-\alpha\Bigr)f=0.

Passo 3

Substituindo a série f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n} na ODE de f, temos
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_{n}x^{n-2} -2\alpha\sum_{n=1}^{\infty}n\,c_{n}x^{n} +\Bigl(\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}-\alpha\Bigr)\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=0.
Ajustando índices (para todos os termos em x^{k}) resulta na relação de recorrência
(k+2)(k+1)\,c_{k+2} +\Bigl(\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}-\alpha-2\alpha k\Bigr)\,c_{k}=0,
ou seja
c_{k+2} =\frac{2\alpha k+\alpha-\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}{(k+2)(k+1)}\,c_{k}.

Passo 4

Para que \psi(x) seja normalizável, a série em f(x) deve truncar, ou seja, existir n tal que c_{n+2}=0 mas c_{n}\neq0. Isso exige
2\alpha n+\alpha-\frac{2mE}{\hbar^{2}}=0 \;\Longrightarrow\; E_{n}=\hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr), \quad n=0,1,2,\dots
e então a série fecha em grau n, definindo polinômios de Hermite H_{n}.

Passo 5

Reconhecendo os polinômios de Hermite, a função f(x) para cada n é proporcional a H_{n}(\sqrt{\alpha}\,x). Assim as autofunções são
\psi_{n}(x) = A_{n}\,e^{-\frac{\alpha x^{2}}{2}}\,H_{n}\bigl(\sqrt{\alpha}\,x\bigr),
com \alpha=m\omega/\hbar e constantes de normalização
A_{n} =\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \Bigl(\tfrac{\alpha}{\pi}\Bigr)^{\!1/4}.

Resposta

E_{n}=\hbar\omega\Bigl(n+\tfrac12\Bigr), \quad n=0,1,2,\dots
\psi_{n}(x) =\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}} \Bigl(\tfrac{m\omega}{\pi\hbar}\Bigr)^{\!1/4} e^{-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}} H_{n}\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{m\omega}{\hbar}}\,x\Bigr).

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