Considere o oscilador harmônico quântico, descrito pelo operador Hamiltoniano dado por
. Aplicando o método de solução em série (método de Frobenius), determine a função de onda
que é solução da equação de Schrödinger
.
Sugestão: suponha uma solução na forma
, e
.
Sugestão: suponha uma solução na forma
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de Schrödinger
para o oscilador harmônico quântico, usando o método de Frobenius. Vamos usar o ansatz
de modo a transformar a equação em uma para
e obter uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
com
, e dividindo por
, obtemos a equação para
:
Passo 3
Substituindo a série
na ODE de
, temos
Ajustando índices (para todos os termos em
) resulta na relação de recorrência
ou seja
Passo 4
Para que
seja normalizável, a série em
deve truncar, ou seja, existir
tal que
mas
. Isso exige
e então a série fecha em grau
, definindo polinômios de Hermite
.
Passo 5
Reconhecendo os polinômios de Hermite, a função
para cada
é proporcional a
. Assim as autofunções são
com
e constantes de normalização