Aplique o método de Frobenius para encontrar a função
que é solução da equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver por Frobenius a equação
em torno de
. Vamos supor uma solução da forma
determinar o indíce
(equação indicial) e a relação de recorrência entre os
, e então ver se as séries fecham em funções elementares.
Passo 2
Derivando
e substituindo em
obtemos, após agrupar termos em
e em
, a condição para o coeficiente de
:
onde usamos
.
Passo 3
Para
aparece a equação indicial
Passo 4
Para
a relação de recorrência fica
Se fizermos
, o denominador simplifica para
e todos os
, enquanto
Isso gera a série
Passo 5
Para
, o denominador vira
e todos os
, enquanto
Aí surge a série
Resposta
A solução geral da equação é
com
constantes determinadas pelas condições iniciais.