Calcule a transformada de Fourier inversa dos seguintes sinais:
G(\omega)=\frac{\delta(\omega-1)}{(j \omega+3)(j \omega+5)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier inversa de
G(\omega)=\frac{\delta(\omega-1)}{(j\omega+3)(j\omega+5)}.
O conteúdo usado será a definição da transformada inversa
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}G(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega
e a propriedade do impulso de Dirac que “amostra” a função no ponto onde o impulso está centrado.

Passo 2

Escrevendo a inversa:
x(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\delta(\omega-1)}{(j\omega+3)(j\omega+5)}\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Pela propriedade do δ, a integral “pega” o valor da função multiplicada por δ em \omega=1.

Passo 3

Aplicando a amostragem:
x(t) =\frac{1}{2\pi}\,\frac{e^{j\cdot1\cdot t}}{\bigl(j\cdot1+3\bigr)\bigl(j\cdot1+5\bigr)} =\frac{e^{j t}}{2\pi\,(j+3)(j+5)}.

Passo 4

Para simplificar o denominador, calcule
(j+3)(j+5) =j^2+8j+15 =-1+8j+15 =14+8j.
Logo
x(t) =\frac{e^{j t}}{2\pi\,(14+8j)}.

Resposta

x(t)=\frac{e^{j t}}{2\pi\,(14+8j)}.

Exercícios relacionados